Exercices sur les complexes et la géométrie pour la préparation aux études supérieures

Présentation

Les indications de difficulté (☹ , ☹☹ et enfin ☠) ne sont pas forcément de moi, je n'ai pas forcément le même ressenti, à chacun ses goûts et ses couleurs !

Certains exercices, sans être corrigés, bénéficient d'indices/de pistes de réflexion. La difficulté devient alors bien plus raisonnable.

Par ailleurs, certains de ces exercices me paraissent faciles pas trop difficiles envisageables, je les ai signalés avec un ☺. N'ayant pas fait ou refait depuis longtemps une partie de ces exercices, et jamais pour quelques-uns, il est fort possible que j'en ai oublié.

Les exercices me paraissant particulièrement enrichissants sont signalés par ☼. J'ai essayé de mettre dans cette catégorie des exercices en majorité ☺.

Les exercices présentant un intérêt certain en programmation sont signalés par 💻. Pour certains, on peut trouver la solution avec un programme, pour d'autres il s'agit plus d'explorer et de conjecturer. Quelques programmes, notamment en arithmétique, demandent des connaissances sur les types ; les connaissances acquises en programmation lors des cours de mathématiques risquent d'être un peu justes. les exercices notés 💻 🖥 sont enrichissants en tant qu'exercices de programmation, notamment pour les élèves de NSI en début de classe de première.

Certains de ces exercices, surtout en analyse, nécessitent des compléments de cours. Ces compléments sont faciles à comprendre et à trouver sur le web, et si vous êtes élève votre professeur peut vous les expliquer rapidement. Quand j'y ai pensé, j'ai signalé sur les exercices la nature de ces compléments. Il s'agit principalement de :

• Suites adjacentes.
• Asymptotes obliques.
• Composition des fonctions et dérivée d'une fonction composée.
• Intégration par parties.
• Bijections, continuité de manière un peu plus fine que dans le programme officiel.
• Fonctions puissances, croissances comparées.
• Notions sur les factorielles.
• Arrangements et combinaisons.
• Bases et systèmes de numération (en arithmétique) Ceux qui font NSI/ISN en connaissent les principes, du moins en base 2 et 16.

Par ailleurs, les outils informatiques peuvent donner facilement la solution de certains exercices (et cela est très enrichissant à programmer). Si vous trouvez la solution par ce moyen, n'oubliez pas de prouver vos conjectures par la suite !

Les exercices

1. ☼ On considère un triangle équilatéral \(ABA'\), \(O\) le milieu du segment \([AA']\), et un repère orthonormal d'origine \(O\) dans lequel \(B\) a pour affixe \(i\). Les bissectrices du repère coupent \((AB)\) et \((A'B)\) en \(C\) et \(C'\) respectivement.
   Montrer que si \(C\) a pour affixe \(c\), alors \(C'\) a pour affixe \(ic\), et que \(c' = c\mathrm e^{-i\frac{\pi}{3}} + i\mathrm e^{i\frac{\pi}{3}}\). En comparant les deux expressions déterminer \(c\) sous forme algébrique et trigonométrique.



2. ☹ La droite de Simpson
   Soit \(P\) un pont d'affixe \(p\), soit \(\Gamma\) le cercle de diamètre \([OP]\).\(A\), \(B\) et \(C\) sont trois points du cercle \(\Gamma\) d'affixes respectives \(a\), \(b\) et \(c\). On désigne par \(A'\), \(B'\) et \(C'\) les points d'affixes respectives \(\displaystyle a'=\frac{bc}{p}\), \(\displaystyle b'=\frac{ca}{p}\) et \(\displaystyle c'=\frac{ab}{p}\).
   1. Que peut-on dire de \(\displaystyle \frac{p - a}{a}\)
   2. Montrer que \(A'\) est la projection orthogonale de \(O\) sur \((BC)\) (idem pour \(B'\) et \(C'\)).
   3. Montrer que \(A'\), \(B'\) et \(C'\) sont alignés.



3. Le théorème de Johnson.
   On considère trois cercles \(C_1\), \(C_2\) et \(C_3\), de centres \(P\), \(Q\) et \(R\), et de même rayon \(\gamma\), ayant un point commun \(O\). \(C_2\) et \(C_3\) se recoupent en \(A\), \(C_3\) et \(C_1\) en \(B\), \(C_1\) et \(C_2\) en \(C\). On appelle \(\Omega\) le centre du cercle du cercle \(\Gamma\) circonscrit à \(ABC\), \(G\) et \(G'\) les centres de gravité des trianles \(ABC\) et \(PQR\).
   On choisit \(O\) comme origine, et on appelle \(p\), \(q\) et \(r\) les affixes de \(P\), \(Q\) et \(R\) (et de même pour les autres points).
   1. Déterminer les affixes de \(A\), \(B\) et \(C\).
   2. Montrer que \(p + q + r\) est l'affixe de \(\Omega\).
   3. 1. \(ABC\) et \(PQR\) sont symétriques par rapport au milieu \(S\) de \([O\Omega]\).
      2. \(\Gamma\) a pour rayon \(\gamma\).
   4. On pose \(\displaystyle z = \frac{p + r}{p - r}\). Montrer que \(z\) est imaginaire pur, que \(\displaystyle z = \frac{b}{c - a}\). En déuire que \(\Omega\) est l'orthocentre de \(PQR\) et \(O\) celui de\(ABC\).



4. Soit \(\varphi\) le nombre d'or, solution positive de \(\varphi^2 = \varphi + 1\).
   
   1. Montrer que \(\varphi^{n + 2} = u_{n + 1}\varphi + u_n\), où \(u_n\) est la suite de Fibonacci vérifiant \(u_0 = u_1 = 1\) et \(u_{n + 2} = u_{n + 1} + u_n\).
   2. Soit \(\displaystyle \alpha \in \left[0 ; \frac{\pi}{2} \right]\) tel que \(\displaystyle \cos \alpha =\frac{1}{2\varphi}\). Calculer \(\cos 5\alpha\) (on pourra utiliser la forme exponentielle des nombres complexes, ainsi que les résultats du 1). En déduire \(\alpha\).
   Dans la suite on appelle triangle d'or un triangle isocèle d'angle au sommet \(\displaystyle\frac{\pi}{5}\). Si\(ABC\) est un tel triangle, avec \(AB = AC\), on note \((CD)\) et \((BE)\) les bissectrices qui se coupent en \(I\), où \(D \in [AB]\) et \(E \in [AC]\), et \(s\) la similitude définie par \(s(A) = C\) et \(s(C) = B\).
   3. Quels sont l'angle et le rapport de \(s\) ?
      Remarque : pour ceux qui n'ont jamais travaillé sur les similitudes : angle \(= \left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{CB}\right)\) et rapport \(\displaystyle = \frac{CB}{AC}\). Cela vient de \(s(A) = C\) et \(s(C) = B\).
   4. Montrer que \(s(B) = D\) et \(s(D) = I\). En déduire que si \(O\) est le centre de \(s\), alors \(O\), \(A\), \(D\) et \(C\)) sont cocycliques, ainsi que \(O\), \(C\), \(I\) et \(B\).
      Il est contre-productif d'utiliser le théorème classique suivant, que l'on peut néanmoins démontrer grâce à ses connaissances de 3ème sur les angles inscrits : \(ABCD\) sont cocycliques ou alignés sssi \(\displaystyle \frac {c - a}{b - a}\times \frac{b - d}{c - d}\)est réel.
   On définit \(J\) et \(K\) par \(A = s(J)\) et \(J = s(K)\).
   5. Montrer que \(J\), \(B\) et \(C\) sont alignés ainsi que \(K\), \(A\) et \(C\).
   6. Montrer que \(O\), \(B\), \(E\) et \(K\) sont cocycliques, que \(B\) est le centre du cercle inscrit dans \(AKJ\), et que \(O\) est à l'intersection de \((KD)\) et \((IJ)\).
   7. Etant donné un repère orthonormal d'origine \(B\) dans lequel \(C\) a pour affixe 1, déterminer l'expression complexe de \(s\), et l'affixe de \(O\).



5. Exponentielle complexe
   Rappels/indices :
   
   • \(a^b = \mathrm e^{b\ln a}\)
   • \(\displaystyle\lim\limits_{h \to 0} \frac{\ln(1 + h)}{h} = 1\) et \(\displaystyle\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\)
   1. Montrer que \(\displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} \left(1 + \frac{x}{n} \right)^n = \mathrm e^x\).
   2. Soit \(z\) un complexe avec \(z = x + iy\).
      On pose \(\displaystyle Z =\left(1 + \frac{z}{n}\right)^n\) , \(\left|Z\right| = R\) , \(\arg(Z) = \theta\), \(\displaystyle\left|1 + \frac{z}{n}\right| = r\), \(\displaystyle\arg\left(1 + \frac{z}{n}\right) = \alpha\).
      1. Montrer que \(\displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} R = \mathrm e^x\).
      2. Calculer \(\displaystyle\tan\left(\frac{\theta}{n}\right)\) en fonction de \(x\) et \(y\), et montrer que \(\displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} n\cdot\tan\left(\frac{\theta}{n}\right) = y\).
      3. En déduire la limite de \(\theta\).
         Indice
         On pourra calculer \(\displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} \frac{y}{\theta}\)
      4. Conclure que \(Z\) a pour limite \(\mathrm e^z\).



6. L'heptagone ☹ (dernier calcul uniquement) et ☼
   Indices:
   • Théorème de l'angle inscrit : deux angles inscrits dans un même cercle, interceptant le même arc, ont la même mesure (s'ils sont sur le même arc), ou sont supplémentaires (s'ils sont sur les arcs complémentaires). L'angle au centre vaut deux fois l'angle inscrit si ce dernier est aigu, sinon il vaut \(2(\pi - \alpha)\).
   
   • Une homothétie de centre \(\Omega\) et de rapport \(k\) transforme \(A\) en \(A'\) tel que \(\overrightarrow{\Omega A} = k\overrightarrow{ \Omega A'}\). Une homothétie tranforme un milieu en milieu, un cercle circonscrit en cerle circonscrit, un point d'intersection en point d'intersecrtion, conserve l'orthogonalité/le parallélisme de deux droites etc. De plus c'est une autre façon de voir Thalès : l'image d'un segment par une homothètie est un segment de longueur multipliée par \(|k|\).
   On considère les points \(A_k\) d'affixes \(\mathrm e^{2ik\frac{\pi}{7}}\) : ce sont les sommets de l'heptagone régulier de centre \(O\) (on l'admet).
   
   1. Montrer que \(A_{k+7} = A_k\). Calculer \(L_1 = A_{k}A_{k+1}\) en fonction de \(\sin\frac{\pi}{7}\), faire un calcul semblable pour \(L_2 = A_{k}A_{k+2}\) et \(L_3 = A_{k}A_{k+3}\).
   2. Soient \(A\), \(B\) et \(C\) les intersections respectives de \(A_2A_4\) et \(A_5A_6\), de \(A_0A_3\) et \(A_2A_4\), de \(A_5A_6\) et \(A_0A_3\).
      1. Déterminer les angles du triangle \(ABC\).
      2. Montrer que \(A_6\), \(A_4\) et \(A_0\) sont les milieux respectifs de \([AC]\), \([AB]\) et \([BC]\). En déduire que le cercle circonscrit au triangle \(ABC\) a pour rayon 2, a pour centre le point \(\Omega\) tel que \(\overrightarrow{O\Omega} = 3\overrightarrow{OG}\), où \(G\) est le centre de gravité de \(ABC\), et O le centre de l'heptagone.
         Indices
         • Thalès est ton ami, plutôt trois fois qu'une.
         • Suivant vos connaissances sur la droite d'Euler et les homothéties, la déduction peut être plus ou moins intuitive ou détaillée.
         Montrer que \(A_0A_6\) est la médiatrice de \([CA_2]\), \(A_4A_6\) celle de \([AA_3]\), \(A_0A_4\) celle de \([BA_5]\).
         Indices
         On peut étudier le triangle \(A_2A_0B\).
      3. En déduire que les droites \(CA_2\), \(AA_3\) et \(BA_5\) sont les hauteurs de \(ABC\), et que l'orthocentre \(H\) du triangle \(ABC\) est le symétrique de \(\Omega\) par rapport à \(O\).
         Indices pourla deuximèe partie de la question
         On peut composer l'homothétie de la question précédente avec elle-même.
   3. Montrer que \(B\) est le centre du cercle inscrit dans \(A_2A_3A_5\).
      Indices
      Bissectrices...
   4. Soit \(\Gamma_1\) le cercle inscrit dans \(A_0A_6C\).
      Montrer que \([C\Omega\) est un diamètre de ce cercle, en donner le rayon.
      Remarque : on peut donner le rayon à l'aide du'n homothétie ou d'une symétrie axiale.
   5. 1. Donner les longueurs des côtés du triangle \(B\Omega A_4\).
      2. ☹ En déduire que le point \(A_1\) appartient à \(\Gamma_1\).
         Indices
         Al-Kashi + Euler.



7. ☼ Point de Fermat / Toricelli
   Rappels :
   
   • Théorème de l'angle inscrit : deux angles inscrits dans un même cercle, interceptant le même arc, ont la même mesure (s'ils sont sur le même arc), ou sont supplémentaires (s'ils sont sur les arcs complémentaires). L'angle au centre vaut deux fois l'angle inscrit si ce dernier est aigu, sinon il vaut \(2(\pi - \alpha)\).
     
   • Inégalité triangulaire : \(\forall z_1 \in \mathbb{C} \forall z_2 \in \mathbb{C} |z_1 + z_2| \leq [z_1| + |z_2|\)
   
   
   1. Soient \(M_1\), \(M_2\) et \(M_3\) trois points d'affixes respectives \(z_1\), \(z_2\) et \(z_3\). on peut pour plus de commodité supposer que ces points sont différents de \(O\).
      1. Il peut être intéressant en préliminaire de démontrer l'inégalité triangulaire.
      2. Montrer que :
         \(\forall z_1 \in \mathbb{C} \forall z_2 \in \mathbb{C} \quad \forall z_2 \in \mathbb{C}\) :
         \(|z_1 + z_2 + z_3| = |z_1| + |z_2| + |z_3| \Longleftrightarrow \exists \lambda_3 \in \mathbb{R}_*^+ \quad\exists \lambda_3 \in \mathbb{R}_*^+ \quad z_2 = \lambda_2z_1 \quad z_3 = \lambda_3z_2\)
         Remarque : \(M_1\), \(M_2\) et \(M_3\) sont donc sur la même demi-droite d'origine \(O\).
      3. Montrer que \(M_1\), \(M_2\) et \(M_3\) sont les sommets d'un triangle équilatéral de centre O si et seulement si \(|z_1| = |z_2| = |z_3|\) et \(z_1 + z_2 + z_3 = 0\) (on pourra réfléchir aux relations entre les formes exponentielles de \(z_1\), \(z_2\), \(z_3\)).
   2. Soient \(A\), \(B\) et \(C\) trois points différents de \(O\), d'affixes respectives \(a\), \(b\) et \(c\). On pose \(\displaystyle a^\prime = \frac{a}{|a|}\), \(\displaystyle b^\prime = \frac{b}{|b|}\) et \(\displaystyle c^\prime = \frac{c}{|c|}\), \(A^\prime\), \(B^\prime\) et \(C^\prime\) leur image respective. On suppose que \(a^\prime + b^\prime +c^\prime = 0\).
      1. Montrer que \(S = \overline{a^\prime}(a - z) + \overline{b^\prime}(b - z) +\overline{c^\prime}(c - z)\) est indépendant de \(z\).
      2. En éduire que \(|a| + |b| + |c| \leq |a - z| + |b - z| + |c - z|\) (1).
      3. Montrer qu'il n'y a égalité dans (1) que si \(\displaystyle (\overrightarrow{OA};\overrightarrow{AM}) = (\overrightarrow{OB};\overrightarrow{BM}) =(\overrightarrow{OC};\overrightarrow{CM})\) (2).
      4. Montrer que si \(O\), \(A\), \(B\), \(C\) et \(M\) ne sont pas cocycliques, alors (2) équivaut à \(M= O\).
      5. On suppose maintenant que \(O\), \(A\), \(B\), \(C\) et \(M\) sont cocycliques.
         Soit \(\Omega\) le centre du cercle correspondant. On se place dans le repère d'origine \(O\), ayant pour demi-axe des abscisses positifs \([O\Omega)\).
         Montrer qu'alors \(A^\prime\), \(B^\prime\) et \(C^\prime\) sont dans le même demi-plan. En déduire une contradiction.
         On a donc montré que (2) équivaut à \(M = O\).
   3. ☹ Soit \(ABC\) un triangle dont tous les angles sont inférieurs à \(\frac{2\pi}{3}\). Déterminer le point tel que la somme des distances à \(A\), \(B\) et \(C\) soit minimale. R2aliser la construction géométrique à la règle et au compas.