Exercices de probabilités et de dénombrement pour la préparation aux études supérieures

Les exercices

1. Zoo au logis ☼
   Odile a plusieurs sortes d'animaux dont exactement 2 ne sont pas des mammifères, 3 ne sont pas des chiens, 4 ne sont pas des chats, 5 ne sont pas des perroquets. Combien Odile a-t-elle de chats ? de chiens ?



2. En entrant dans un pub après un match de rugby France-Ecosse, j'y trouvais : 8 femmes, 82 personnes ivres, 2 hommes en kilt n'ayant pas bu, 4 femmes en pantalon, 6 personnes ivres en pantalon, 77 hommes en kilt, 19 personnes en pantalon, et 1 femme ivre en pantalon. Combien étions-nous ?



3. ☹ Dans un damier carré de \(n \times n\) combien y-a-t-il de carrés ? de rectangles ? Dans un triangle équilatéral de côté \(n\) où l'on a tracé toutes les unités parallèles aux côtés, combien y-a-t-il de parallélogrammes ?



4. ☹ Les problèmes du facteur (arrangements, combinaisons)
   
   1. Un premier facteur, stagiaire, arrive devant un immeuble dont l'entrée est dépendante d'un digicode à quatre chiffres non nuls. Il sait que ces 4 chiffres sont différents. Combien y-a-t-il de codes différents ?
   2. Une fois entré dans l'immeuble, il trouve 10 boites aux lettres dans lesquelles il doit répartir 7 prospectus différents. Combien y-a-t-il de répartitions s'il ne doit mettre qu'un prospectus par boite ? S'il peut en mettre plusieurs par boite ?
   3. Un deuxième facteur, plus expérimenté, se trouve confronté aux mêmes problèmes, sauf que le digicode est à 5 chiffres, qui sont dans un ordre croissant (on peut faire 2 études : strictement croissant ou au sens large). Il a 7 prospectus identiques, et il peut en mettre plusieurs par boite. Répondre aux mêmes questions.



5. Le problème du scrutin. ☹ (sur la fin) ☼
   Partie A
   
   1. Identifier les coefficients binomiaux de \(x^4\) dans \((1 + x)^8\)et dans \((1+ x)^4(1 + x)^4\).
   2. Identifier les coefficients binomiaux de \(x^4\) dans \((1 + x)^8\)et dans \((1+ x)^3(1 + x)^5\). Vérifier numériquement la formule obtenue à partir de ces deux questions.
   Partie B
   Un point mobile se déplace sur les lignes d'un quadrillage illimité d'origine O. A l'instant \(t = 0\) il se trouve à l'origine. A chaque unité de temps, il se déplace d'une unité de longueur, vers la droite ou bien vers le haut.
   
   
   1. Calculer le nombre de trajectoires reliant O à \(A(a ; b)\). On dit que ce sont des chemins minimaux (pourquoi "des" ?). En déduire le nombre de chemins minimaux joignant \(A\left(x_A ; y_A\right)\) à \(B\left(x_B ; y_B\right)\).
   2. Le but de la question est de démontrer la relation :
      \(\displaystyle \left( \begin{array}{ c }2n \\ n \end{array}\right) = \left( \begin{array}{ c }n \\ 0 \end{array}\right)^2 + \left( \begin{array}{ c }n \\ 1 \end{array}\right)^2 + \cdots + \left( \begin{array}{ c }n \\ n- 1 \end{array}\right)^2 + \left( \begin{array}{ c }n \\ n \end{array}\right)^2\)
      1. Première méthode : calculer de deux manières le nombre de tirages de \(n\) boules dans une urne contenant \(n\) boules violettes à points verts et \(n\) boules ocres à rayures carmin.
      2. Deuxième méthode : en dénombrant le nombre de chemins minimaux joignant O\((0 ; 0)\) à \(N(n ; n )\). Remarque : la droite tracée sur le schéma n'est pas là par hasard...
   3. par un raisonnement similaire à la question précédente, démontrer la formule :
      \(\forall n \in \mathbb N\)  \(\forall p \in \mathbb N\)   \(\forall q \in \mathbb N \)  tel que  \(0 \leq q \leq n + p\)   \(\displaystyle \left( \begin{array}{ c }n + p \\ n \end{array}\right) = \sum_{k = 0}^{k = q}\left( \begin{array}{ c }q \\ k \end{array}\right)\left( \begin{array}{ c }n + p - q \\ n - k \end{array}\right)\)
      On pourra introduire la droite d'équation \(x + y = q\).
      Ecrire la formule correspondant à \(A(5 ; 8)\) avec la droite d'équation \(x + y = 5\).
   Partie C
   
   1. Démontrer le principe de réflexion: « étant donné une parallèle D à la première bissectrice, et deux points A et B situés du même côté de D, alors le nombre de chemins minimaux joignants A à B et coupant ou touchant D vaut le nombre de chemins minimaux joignants B au symétrique A' de A par rapport à D ».
   2. Démontrer le théorème d'André (1887): « soient \(p\) et \(q\) des entiers tels que \(1 \leq p \lt q\). on pose \(p + q = n\). Alors les chemins minimaux joignant 0 au point \(M(p ; q)\) et n'ayant en commun avec la première bissectrice que le point O sont au nombre de \(\displaystyle \frac{q - p}{q + p}\left( \begin{array}{ c }n \\ p \end{array}\right)\) ».
   3. Et enfin résoudre le problème du scrutin: « étant donné un scrutin à l'issue duquel les candidats P et Q recueillent \(p\) et \(q\) voix, avec \(1 \leq p \lt q\), quelle est la probabilité pour que Q ait constamment la majorité pendant le dépouillement ? ».
      Remarque : on peut également voir le problème comme la modélisation de la ruine d'un joueur. S'il gagne une partie, il va vers la droite, s'il perd vers le bas. Il est ruiné quand il passe sous la droite.



6. Combinaisons avec répétitions.
   On note \(\Gamma_n^p\) le nombre de façons de ranger \(p\) objets indiscernables dans \(n\) tiroirs.
   1. Calculer \(\Gamma_n^p\) pour \(n \leq 3\) et \(p \leq 5\).
   2. Modèle
      
      
      1. Montrer alors qu'un rangement peut être considéré comme un mot de \(p + n - 1\) lettres formé à l'aide de \(p\) lettres « O » (les \(p\) objets) et de \(n - 1\) lettres « C » (les \(n - 1\) cloisons).
      2. En déduire que \(\Gamma_n^p = C_{n + p - 1}^p = \left( \begin{array}{ c }n + p - 1 \\ p \end{array}\right)\)
   3. Applications (dans chaque cas, trouver les « objets » et les « tiroirs »).
      1. Déterminer le nombre de solutions \((x ; y ; z)\) de l'équation \(x + y + z = 10\), où \(x\), \(y\) et \(z\) sont des entiers naturels.
      2. Déterminer le nombre de termes après réduction de \((a + b + c + d)^5\).



7. Permutations avec répétitions.
   Compter le nombre d'anagrammes des mots: ananas, abaca, Lucullus, Mississippi, suissesses.



8. On dispose de \(p\) couleurs avec lesquelles on colorie au hasard \(n\) cases d'une bande de papier. Quelle est la probabilité pour que deux cases voisines soient toujours de couleur différente ?
   On reprend le problème avec une couronne circulaire.
   Calculer la probabilité pour que deux cases voisines soient toujours de couleur différentes avec 3 cases.
   Soit \(u_n\) le nombre de coloriages satisfaisants pour une couronne de \(n\) cases. Trouver une relation de récurrence entre \(u_n\) et \(u_{n - 1}\), en déduire que \(u_n = (p - 1)^n + (-1)^n(p - 1)\).



9. ☺☼ Calculer les probabilités de deux évènements \(A\) et \(B\) sachant que \(\displaystyle P_A(B)=\frac{2}{3}\), \(\displaystyle P_B(\overline{A})=\frac{9}{11}\) et \(\displaystyle P(A \cap \overline{B}) =\frac{1}{12}\)



10. Les jours de grève, la météo nationale assure un service minimum avec deux grenouilles aux comportements indépendants, quel que soit le temps. En mai, il pleut deux jours sur cinq. Quand il va pleuvoir, chaque grenouille annonce la pluie huit fois sur 10 et elles annoncent simultanément le beau temps une fois sur vingt-cinq. Quand il va faire beau, chacune annonce le beau temps neuf fois sur dix. Les grenouilles ont également un comportement indépendant conditionnellement au beau temps.
    Le 13 mai, jour de grève, elles annoncent toutes les deux qu'il va faire beau. Calculer la probabilité pour qu'il pleuve.



11. ☼ On lance trois pièces de monnaie. Montrer avec un arbre que la probabilité que toutes trois retombent du même côté, que ce soit pile ou face, est de 1/4. Soit. Pourtant, si on lance trois pièces, il y en a forcément deux qui seront déjà du même côté ; la troisième y sera avec une chance sur deux. J'ai donc une chance sur deux que toutes trois tombent du même côté. Expliquer l'erreur de raisonnement.



12. Le Bon, la Brute, et le Prof de Maths Myope. Eventuellement : 💻
    Dans le cultissime film de Sergio Léone, le Bon, la Brute et le Truand s'affrontent lors d'un "truel" -un duel à trois-, au milieu du cimetière circulaire de Sad Hill. Pour la petite histoire, ce cimetière était un décor, qui a été reconstruit grâce à un crowdfunding : les croix portent désormais les noms des donateurs.
    On va remplacer le Truand par le Prof : un professeur de mathématiques, myope de surcroit.
    
    
    
    Lors de ce duel, chacun tire à son tour sur l'adversaire de son choix. Celui qui tire en premier est tiré au hasard. Le Bon touche sa cible à tous les coups. La Brute touche son adversaire 9 fois sur 10. Et le Prof, étant myope, n'atteint sa cible qu'une fois sur deux. Sachant que le Bon et la Brute ont tout intérêt à tirer l'un sur l'autre puisque le Prof n'est pas dangereux, expliquer pourquoi ce dernier décide de tirer en l'air tant qu'il a deux adversaires, en calculant sa probabilité de survie, ainsi que celles du Bon et de la Brute. On pourra faire intervenir une suite, ou bien estimer une probabilité grâce à une simulation en Python.
    Compléter éventuellement en calculant les probabilités de survie de chacun avec la stratégie qui consisterait à tirer sur l'adversaire le plus dangereux y compris pour le Prof.
    "Tu vois, le monde se divise en deux catégories : ceux qui ont un pistolet chargé et ceux qui creusent. Toi, tu creuses." Le Bon



13. Les variables aléatoires du garagiste (complément: variables aléatoires indépendantes, fonction de répartition).
    Un garagiste a deux voitures qu'il peut prêter à ses clients. Chacune de ces voitures est indisponible une fois sur cinq de manière indépendante. \(X\) est la variable aléatoire égale au nombre de voitures disponibles, \(Y\) est le nombre de clients demandeurs, et \(Z\) le nombre de voitures prêtées. On sait que \(P(Y = 0) = 0,3\) et que \(P(Y = 1) = 0,5\). Déterminer la fonction de répartition de \(Z\).



14. ☼ 💻 Chabadabada
    La variable aléatoire \(H\) donnant la taille des hommes suit la loi normale \(\mathcal N(175,36)\), La variable aléatoire \(F\) donnant la taille des femmes suit la loi normale \(\mathcal N(165,30.25)\). Quelle est la probabilité qu'une femme soit plus grande qu'un homme ?



15. ☼ ☺ Des probabilités continues.
    N'utilise que la loi uniforme, et des calculs de surface élémentaires. Peut se faire facilement par des élèves ayant pris la spécialité mathématique en terminale avec un petit complément sur le sujet de la loi uniforme. Eventuellement, voir dans la section archive le début du cours sur les lois continues.
    Soient \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) quatre nombres quelconques fixés de \([-4, 4]\), chacun pris au hasard.
    Soit \(D_1 = \{ (x, y) \mbox{ tels que } |x - a| \leq 1 \mbox{ et } |y - b| \leq 1 \}\)
    Soit \(D_2 = \{ (x, y) \mbox{ tels que } |x - c| \leq 1 \mbox{ et } |y - d| \leq 1 \}\)
    Calculer \(P(D_1 \cap D_2 ≠ \emptyset)\).
Indices et réponse (sans la solution détaillée)
Montrer que \(P(D_1 \cap D_2 ≠ \emptyset) = P(|a - c | \leq 2)^2 \).
Un schéma sur \([-4 ; 4] \times [-4 ; 4]\) suffit pour calculer \(P(|a - c | \leq 2)\).
On trouve \(P(D_1 \cap D_2 ≠ \emptyset) = \frac{49}{256} \).



16. Elections ☹ Encore des films : Election 1 et 2 de Johnny To. Le 1 dépote déjà pas mal, le 2 est carrément déconseillé aux âmes sensibles...
    Considérons un triangle équilatéral ABC et un point M intérieur au triangle.
    1. Montrer que la somme des distances de M aux trois côtés du triangle est indépendante de M.
    2. Consiédrons \(a\), \(b\) et \(c\) les pourcentages de voix obtenus par trois candidats lors d'une élection. La somme des pourcentages étant 1, il existe un unique point M intérieur au triangle équilatéral de hauteur unité, tel que M soit aux distances \(a\), \(b\) et \(c\) des côtés. Cette élection doit désigner au scrutin proportionnel 5 délégués. Les points correspondants pour chaque liste à un nombre exact d'élus sont les sommets de 25 triangles équilatéraux. Montrer que si l'élection se fait au plus fort reste, l'intérieur de chaque petit triangle se partage en 3 zones par les segments joignant le centre du triangle au milieu des côtés, et que le triangle initial se partage en un pavage hexagonal.
    3. En déduire alors qu'une liste peut perdre un élu tout en gagnant des voix. Déterminer la probabilité de chaque type de résultats.