Enigmes mathématiques de niveaux variés
Exercices de provenance très diverse, de niveaux variés.
- Niveau Première.
On remarque que :
\[1 + 2 = 3\]
\[4 + 5 + 6 = 7 + 8\]
\[9 + 10 + 11 + 12 = 13 + 14 + 15\]
Généraliser (on demande bien sûr une preuve !).
- Niveau Seconde puis Première.
On construit un damier carré de taille \(5 \times 5 = 25\) cases, en y rangeant les nombres de 1 à 25 comme ci-dessous. On choisit 5 nombres, un seul par ligne et un seul par colonne.
Exemple :
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \bf{1} & 2 & 3 & 4 & 5\\ \hline 6 & 7 & \bf{8} & 9 & 10\\ \hline
11 & \bf{12} & 13 & 14 & 15\\ \hline 16 & 17 & 18 & \bf{19} & 20 \\ \hline
21 & 22 & 23 & 24 & \bf{25} \\ \hline \end{array}\]
- Montrer que la somme de ces cinq nombres vaut toujours 65.
- Généraliser à un damier carré de taille quelconque.
- Les interrupteurs. Niveau terminale voire seconde...
On dispose de 100 lampes éteintes, chacune étant reliée à un interrupteur (donc tous en position éteint). Les interrupteurs sont numérotés de 1 à 100.
On bascule les interrupteurs comme suit :
- A la première étape, on bascule tous les interrupteurs ;
- A la deuxième étape, on bascule tous les interrupteurs dont le numéro est pair ;
- A la troisième étape, on bascule tous les interrupteurs dont le numéro est multiple de 3 ;
- ...
- Ainsi de suite jusqu'à la centième étape
Quelles sont les lampes allumées à la fin du processus ?
- Niveau seconde.
« J’ai deux fois l’âge que vous aviez quand j’avais l’âge que vous avez. Quand vous aurez l’âge que j’ai, la somme de nos âges sera 90 ans. Quel est mon âge ? »
