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Enigmes mathématiques de niveaux variés


Exercices de provenance très diverse, de niveaux variés.
  1. Niveau Première.
    On remarque que :
    \[1 + 2 = 3\] \[4 + 5 + 6 = 7 + 8\] \[9 + 10 + 11 + 12 = 13 + 14 + 15\]
    Généraliser (on demande bien sûr une preuve !).

  2. Niveau Seconde puis Première.
    On construit un damier carré de taille \(5 \times 5 = 25\) cases, en y rangeant les nombres de 1 à 25 comme ci-dessous. On choisit 5 nombres, un seul par ligne et un seul par colonne.
    Exemple : \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \bf{1} & 2 & 3 & 4 & 5\\ \hline 6 & 7 & \bf{8} & 9 & 10\\ \hline 11 & \bf{12} & 13 & 14 & 15\\ \hline 16 & 17 & 18 & \bf{19} & 20 \\ \hline 21 & 22 & 23 & 24 & \bf{25} \\ \hline \end{array}\]
    1. Montrer que la somme de ces cinq nombres vaut toujours 65.
    2. Généraliser à un damier carré de taille quelconque.

  3. Les interrupteurs. Niveau terminale voire seconde...
    On dispose de 100 lampes éteintes, chacune étant reliée à un interrupteur (donc tous en position éteint). Les interrupteurs sont numérotés de 1 à 100.
    On bascule les interrupteurs comme suit :
    • A la première étape, on bascule tous les interrupteurs ;
    • A la deuxième étape, on bascule tous les interrupteurs dont le numéro est pair ;
    • A la troisième étape, on bascule tous les interrupteurs dont le numéro est multiple de 3 ;
    • ...
    • Ainsi de suite jusqu'à la centième étape
    Quelles sont les lampes allumées à la fin du processus ?