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Exercices d'analyse pour la préparation aux études supérieures


Présentation

Une collection d'exercices provenant pour les deux tiers, d'un recueil de Jean-Marc Dewasme, anciennement professeur au lycée Joffre de Montpellier. Quelques uns proviennent d'un vieux livre de TS de M. Terracher, en tant que tels ils sont protégés mais c'est pêcher que de les laisser se perdre ; d'autres sont de mon cru, certaines rédactions viennent de M. Amposta (lycee.mathematiques.free.fr), et enfin d'autres sont de provenance inconnue, glanés au fil du temps.

« Cette compilation contient des exercices que j'ai pratiquement tous donnés à mes élèves, pas toujours à une classe entière bien sûr, mais quelquefois à un petit groupe d'élèves motivés. Ce qui prouve qu'il y a eu à Joffre (et qu'il y a encore) d'excellents élèves. C'est à eux que je dédie ce recueil.
Les lecteurs voudront bien excuser et corriger les erreurs, coquilles et maladresses, et je les encourage à améliorer certains passages en considérant cet exemplaire comme une source d'idées et non comme un travail accompli.

                                                          Jean-Marc Dewasme »


J'ai également donné certains de ces exercices, sous une forme parfois différente -notamment avant de connaître ce recueil- à des élèves du lycée Pierre Poivre de la Réunion, et aussi à des élèves du lycée Jean Jaurès de Saint-Clément-de-Rivière. Ceci en classe entière, en devoir à la maison, ou bien à certains élèves uniquement. Et je confirme : il y a toujours d'excellents élèves, partout. Il suffit de leur donner de quoi se nourrir intellectuellement pour qu'ils se révèlent, ce que les programmes ont eu tendance à oublier pendant plusieurs années.

                                                          Frédéric Mandon

Les indications de difficulté (☹ , ☹☹ et enfin ☠) ne sont pas forcément de moi, je n'ai pas forcément le même ressenti, à chacun ses goûts et ses couleurs !

Certains exercices, sans être corrigés, bénéficient d'indices/de pistes de réflexion. La difficulté devient alors bien plus raisonnable.

Par ailleurs, certains de ces exercices me paraissent faciles pas trop difficiles envisageables, je les ai signalés avec un ☺. N'ayant pas fait ou refait depuis longtemps une partie de ces exercices, et jamais pour quelques-uns, il est fort possible que j'en ai oublié.

Les exercices me paraissant particulièrement enrichissants sont signalés par ☼. J'ai essayé de mettre dans cette catégorie des exercices en majorité ☺.

Les exercices présentant un intérêt certain en programmation sont signalés par 💻. Pour certains, on peut trouver la solution avec un programme, pour d'autres il s'agit plus d'explorer et de conjecturer. Quelques programmes, notamment en arithmétique, demandent des connaissances sur les types ; les connaissances acquises en programmation lors des cours de mathématiques risquent d'être un peu justes. les exercices notés 💻 🖥 sont enrichissants en tant qu'exercices de programmation, notamment pour les élèves de NSI en début de classe de première.

Certains de ces exercices, surtout en analyse, nécessitent des compléments de cours. Ces compléments sont faciles à comprendre et à trouver sur le web, et si vous êtes élève votre professeur peut vous les expliquer rapidement. Quand j'y ai pensé, j'ai signalé sur les exercices la nature de ces compléments. Il s'agit principalement de :

Par ailleurs, les outils informatiques peuvent donner facilement la solution de certains exercices (et cela est très enrichissant à programmer). Si vous trouvez la solution par ce moyen, n'oubliez pas de prouver vos conjectures par la suite !


Les exercices

  1. Le peloton du tour de France fait 100 mètres de long et roule à vitesse constante v. Une moto roulant à vitesse constante V part du dernier coureur, remonte jusqu'au premier, fait demi tour instantanément et repart tout aussi instantanément à la même vitesse constante V, puis croise le dernier coureur du peloton au moment ou celui-ci a parcouru 100 mètres depuis que la moto l'a quitté. Quelle distance a parcouru la moto entre les deux moments où elle côtoie le dernier coureur ?

  2. Le train sifflera trois fois.
    Sur une voie ferrée rectiligne, un train traverse un passage à niveau avant d'entrer en gare, et donne un coup de sifflet du passage à niveau jusqu'au-delà de la gare. Monsieur Machin, Cheminot, a remarqué que la durée du coup de sifflet lui paraissait plus courte de 1,5 secondes quand il travaillait au-delà de la gare que quand il était avant le passage à niveau où, par contre, elle lui paraissait plus courte d'une seconde que quand il était à la gare. Quelle est la distance entre la gare et la passage à niveau ? Quelle est la distance parcourue par le train pendant son coup de sifflet ?

  3. ☹ 🖥 💻 (trigo)
    Une caisse cubique de 70 centimètre de côté est posée contre un mur. On appuie contre le mur une échelle de 2,5 mètres qui est contact avec le mur. A quelle hauteur maximale l'échelle peut-elle s'appuyer sur le mur ?

  4. ☹ ☹ (trigo) Le rectangle de côtés 5 et 1 doit, en glissant en A et B entre les deux demi-droites parallèles d'origine 0 et C. On donne \((\overrightarrow{OB} \, ; \, \overrightarrow{OA}) = \frac{3\pi}{4}\). Quelle doit être la distance \(OC\) ?

  5. ☺ Un escalier roulant monte à vitesse constante. Léon monte 20 marches et arrive en 15 secondes ; Suzy en montant 22 marches ne met que 12 secondes, et Gaston qui descend met 18 secondes. Combien a-t-il descendu de marches ?

  6. ☠ L'escalier du pharaon.
    Un escalier comporte 9 marches de hauteurs respectives en partant du bas 1 - 1,5 - 0,7 - 1 - 1,2 - 1 - 0,8 - 1,2 - 1 et de profondeurs 3 - 4 - 1 - 5 - 3 - 4 - 4 - 3 (la dernière est le palier). Le pharaon décide de le transformer en un escalier de 4 marches en minimisant le volume à ajouter. Donner les dimensions des nouvelles marches.


  7. ☼ Le Petit Chaperon Rouge part de chez elle à 8h00, arrive chez sa grand-mère dans l'après-midi (sans rencontrer personne). Le lendemain, après un bon civet de loup, elle repart de chez sa grand-mère à 8h00, et arrive chez elle tranquillement, en empruntant le même chemin en sens inverse. Montrer qu'il existe un endroit du chemin par lequel elle est passée exactement à la même heure les deux jours.

  8. ☹☹ et ☼ (pour l'apprentissage du principe des tiroirs de Dirichlet)
    On choisit un nombre réel \(x\) et un entier \(n\). Montrer que parmi les nombres \(x, 2x, 3x, \dots, (n - 1)x\) il y en a au moins un qui est à moins de \(\frac{1}{n}\)d'un entier ( principe des tiroirs de Dirichlet : si on a \(n + 1\) chaussettes et \(n\) tiroirs, alors au moins un tiroir comporte deux chaussettes).

  9. ☺ ☼ Flocon de Von Koch.
    La courbe \(K_0\) est un triangle équilatéral de côté 1 et d'aire \(s\). On définit par récurrence une famille de courbes \(K_n\) de la manière suivante : chaque courbe est obtenue à partir de la précédente en remplaçant chaque segment par une ligne brisée, en construisant un triangle équilatéral sur le tiers central du segment. Déterminer le périmètre et l'aire de \(K_n\), ainsi que leur limite quand \(n\) tend vers \(+\infty\). Conclusion ?

  10. ☺ ☼ Nombre d'or 1.
    Montrer que \(\displaystyle 1 + \frac{1}{\displaystyle 1 + \frac{1}{\displaystyle 1 + \frac{1}{\displaystyle 1 + \frac{1}{\dots}}}} = \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{\dots}}}}}\)
    On pourra montrer que \(v_{n+ 1} - \varphi = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2v_n} (\varphi - v_n\), d'où \(|v_{n + 1} - \varphi| \leq |v_{n} - \varphi|\), où \(v_0 = 1\) et \(v_{n + 1} = 1 + \frac{1}{v_n}\) et \( \varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \).

  11. ☺ 🖥 Fibonacci 1. On considère la suite de Fibonacci définie par \(u_0 = 0\), \(u_1 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}\), et \(u_{n + 2} = u_{n + 1} + u_n\). Conjecturer la limite de la suite en calculant les 100 premiers termes. Il peut être intéressant d'utiliser à la fois Python, tableur, et calculatrice.
    Soient \(\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\) et \(\psi = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}\). Vérifier que \(\varphi\) et \(\psi\) sont les solutions de l'équation \(x^2 - x - 1 = 0\). En déduire que l'on a \(u_n = \psi^n\).
    Conclure sur la validité des conjectures.

  12. Fibonacci 2
    1. De combien de façons \(f_n\) peut-on remplir un tonneau de \(n\) litres avec un pot de 1 litre et 1 pot de 2 litres ? Le sens du "nombre de façons" fait intervenir l'ordre ; ainsi il y a trois façons de remplir un tonneau de 3 litres : 1-2, 1-1-1, 2-1. On prendra \(f_0 = 1\) en pensant qu'il n'y a qu'une seule façon de remplir un tonneau déjà plein, c'est de ne rien faire. Justifier que \(f_{n+2} = f_n + f_{n+1}\)
    2. De telles suites, définies par leurs 2 premiers termes et cette relation de récurrence s'appellent suites de Fibonacci, du nom de celui qui les a caractérisé par le nombre d'or (vers 1200).
    3. Quelle relation de récurrence vérifie la suite \((q_n)\) définie par \(q_n = \frac{f_{n+1}{f_n}\).En déduire la convergence de la suite \((q_n)\) (on peut faire l'exercice Nombre d'Or 1 !)
    4. Montrer que les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) définies respectivement par \(v_n = \varphi^n\) et \(u_n = \psi^n\) sont des suites de Fibonacci. En déduire que toute suite s'écrivant \(u_n = a\varphi^n + b\psi^n\) est une suite de Fibonacci.
      Montrer maintenant la réciproque : toute suite de Fibonacci s'écrit sous la forme \(u_n = a\varphi^n + b\psi^n\). Pour cela on déterminera \(a\) et \(b\) en fonction de \(u_0\) et \(v_0\). Donner les valeurs de \(a\) et \(b\) dans le cas précis de la suite étudiée au 1.

  13. Nombre d'or 2
    Résoudre l'équation \(\displaystyle x = 1 + \frac{1}{\displaystyle 1 + \frac{1}{\displaystyle 1 + \frac{1}{\displaystyle 1 + \frac{1}{\displaystyle{\dots}{\displaystyle \frac{\dots}{\displaystyle 1 + \frac{1}{x}}}}}}}\) (\(n\) dénominateurs superposés)

  14. Nombre d'or 3
    Soit \(u_n\) la suite définie par \(u_0 = 2\) et \(u_{n+1} = \frac{u_n^2 + 1}{2u_n - 1}\).
    Montrer que la suite \(u_n\) converge vers le nombre d'or \( \varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \).
    Montrer que \(u_{n+1} - \varphi \leq \frac{1}{2}(u_n - \varphi)^2\), en déduire que \(u_8\) est une approximation de \(\varphi\) à au moins \(10^{-153}\).

  15. Nombre d'Or 4
    On définit la suite \((z_n)_{n \in \mathbb{N}}\) par \(z_0 = 1 + i\) et \(z_{n + 1} = 1 + \frac{1}{z_n}\).
    Partie A : étude directe (et incomplète)
    1. Conjecturer la limite de la suite \((z_n)_{n \in \mathbb{N}}\). On pourra utiliser des outils de calcul.
      Remarque : Pyhton accepte les complexes sous la forme z = a + bj ou z = complex(a,b), avec j à la place de \(i\), et sans signe de multiplication entre b et j. L'instruction phase(z) permet de calculer une mesure de l'argument. Il faut préciser from cmath import * en début de programme.

  16. ☹ Soit \(\displaystyle u_n = \sum_{k=1}^{k=n}\frac{1}{\sqrt{k}}\) et \(v_n = u_n -\sqrt{n}\). Montrer que \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n + 1}}\leq 2\sqrt{n+ 1} - 2\sqrt{n} \leq \frac{1}{\sqrt{n}}\).
    En déduire par itération que la suite \(v_n\) diverge, et que la suite \(u_n\) est décroissante et convergente.


  17. Série harmonique et Constante d'Euler-Mascheroni (voir aussi exercice 16 sur le même thème, du côté arithmétique).

    1. On considère la série harmonique \(\displaystyle u_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}\). En regroupant des termes successifs, montrer que \(\displaystyle u_{2^n} \geq 1 + \frac{1}{2}n\). En déduire que la série diverge vers \(+\infty\).
    2. On considère la série harmonique alternée \(u_n = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{(-1)^n}{n+1}\).
      1. Calculer \(\displaystyle \int_0^1 (-t)^n \, \mathrm dt\), où \(n \in \mathbb N\).
      2. Calculer \(\displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} \int_0^1 \frac{(-t)^{n+1}}{1+t} \, \mathrm dt\), où \(n \in \mathbb N\).
      3. En déduire la limite de la série harmonique alternée.
    3. On vient de voir au 1 que la série harmonique diverge. On sait également que la suite \((\ln n)_{n \in \mathbb N}\) diverge vers \(+\infty\).Comparons les deux.

      Montrer que pour tout entier \(n > 1\), \(\displaystyle \frac{1}{n+1} \leq \ln \left( \frac{n+1}{n} \right) \leq \frac{1}{n}\).

      On pose \(\displaystyle u_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n - 1} -\ln n\) et \(\displaystyle v_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} -\ln n\). Montrer que la suite \(u_n\) est croissante, \(v_n\) est décroissante, et que ces deux suites ont la même limite \(\gamma\) appartenant à \(]0 ; 1[\).

      Remarque : on en conclut que les deux suites (série harmonique et \((\ln n)_{n \in \mathbb N}\)) ont la même "vitesse de convergence".


  18. ☹☹ On pose \(u_1 = 1\) et \(u_{n + 1} = 2u_n +\sqrt{3u_n^2 + 1}\). Montrer que \(u_n\) est entier pour tout \(n \in \mathbb N\).


  19. ☹☹ \(a\) est un entier impair. On pose \(u_0 = b\) entier positif, et si \(u_n\) est pair, alors \(u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n\), alors que si \(u_n\) est impair, \(u_{n+1} = u_n + a\). Montrer qu'il existe \(p\) tel que \(u_p \leq a\), et que \(u_n\) est périodique à partir du rang \(p\).


  20. Algorithme de Babylone.

    On définit la suite \((u_n)_{n \in \mathbb N}\) par \(u_0 = 2\) et \(\displaystyle u_{n + 1} = \frac{1}{2}\left( u_n + \frac{2}{u_n} \right)\).
    1. Montrer que la suite \((u_n)_{n \in \mathbb N}\)) vérifie \(\sqrt{2} \leq u_{n+1} \leq u_n \leq 2\). Conclure sur la convergence de la suite, puis détermniner le limiite \(L\) de \((u_n)_{n \in \mathbb N}\).
    2. D'après la calculatrice, et avec un peu d'intuition, à partir de quel rang a-t-on une valeur approchée de \(L\) à \(3.10^{-4}\) près ? A \(2.10^{-12}\) près ? A \(10^{-48}\) près ?
    3. Calculer \(\displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} \frac{u_{n+1} - L}{(u_n - l)^2}\). En déduire que \(\left|u_{n+1} - L \right| \approx \frac{1}{2\sqrt{2}}\left|u_{n} - L\right|\). Si \(u_n\) est une valeur approché de \(L\) à \(10^{-k}\), que peut-on dire sur la précision de \(u_{n+1}\) en tant que valeur approchée de \(L\) ?


  21. Simplifier


  22. Etudier rapidement la fonction \(\displaystyle f(x) = \frac{x^3 - 9x}{x^2 - 1}\). On note \(D\) l'ensemble de définition de \(f\) et \(I = ]-1 ; 1[\). On considère \(a \in D\) et l'équation \(f(x) = f(a)\). Montrer que cette équation a trois solutions, dont une et une seule dans \(D\). Déterminer algébriquement les trois solutions. Représenter graphiquement la fonction \(g\) qui à \(a\) associe celle des solutions qui est dans \(I\).


  23. Le paravent. Un paravent est constitué de deux parties \(MA\) et \(MB\) articulées en \(O\), de 1 mètre chacune. On place ce paravent dans le coin (à angle droit) \(BOA\) d'une pièce, \(M\) étant sur la bissectrice. On cherche à obtenir une surface \(OAMB\) maximale.

    Etudier ce problème :
    1. En prenant comme inconnue l'abscisse \(x\) de \(M\) dans un repère \((O;\overrightarrow i ; \overrightarrow j)\);
    2. En prenant comme inconnue l'angle \(\theta = (\overrightarrow{AM} ; \overrightarrow{OB})\).


  24. ☹ ☼ (compléments : asymptotes obliques)

    Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par \(\displaystyle f:x \rightarrow \frac{x}{4} + \sqrt{\left|x^2 - 4x \right|}\). On note \(C_f\) sa courbe représentative.

    Etudier \(f\) en séparant les cas suivant les valeurs de \(x\) ; ne pas oublier la dérivabilité en 0 et en 4 (on montrera l'existence de demi-tangentes verticales).

    Pour trouver les équations des asymptotes obliques en \(+\infty\) et en \(-\infty\) on pourra utiliser la méthode suivante :

    si \(\displaystyle \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = a\) et \(\displaystyle \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) - ax = b\) alors \(\displaystyle \lim\limits_{x \to +\infty} \cdots\) (conclure !).

    Etudier l'intersection de \(C_f\) avec ses asymptotes (pour ceux qui n'ont pas peur des calculs).