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MATHEMATICA DINOSAURUS


Présentation

Une collection d'exercices provenant pour les deux tiers, d'un recueil de Jean-Marc Dewasme, anciennement professeur au lycée Joffre de Montpellier. Quelques uns proviennent d'un vieux livre de TS de M. Terracher, en tant que tels ils sont protégés mais c'est pêcher que de les laisser se perdre ; d'autres sont de mon cru, certaines rédactions viennent de M. Amposta (lycee.mathematiques.free.fr), et enfin d'autres sont de provenance inconnue, glanés au fil du temps. Les indications de difficulté (☹ , ☹☹ et enfin ☠) sont en général de M. Dewasme, je n'ai pas forcément le même ressenti, à chacun ses goûts et ses couleurs !

Certains exercices, sans être corrigés, bénéficient d'indices/de pistes de réflexion. La difficulté devient alors bien plus raisonnable.

Par ailleurs, certains de ces exercices me paraissent faciles pas trop difficiles envisageables, je les ai signalés avec un ☺. N'ayant pas fait ou refait depuis longtemps une partie de ces exercices, et jamais pour quelques-uns, il est fort possible que j'en ai oublié.

Les exercices me paraissant particulièrement enrichissants sont signalés par ☼. J'ai essayé de mettre dans cette catégorie des exercices en majorité ☺.

Les exercices présentant un intérêt certain en programmation sont signalés par 💻. Pour certains, on peut trouver la solution avec un programme, pour d'autres il s'agit plus d'explorer et de conjecturer. Quelques programmes, notamment en arithmétique, demandent des connaissances sur les types ; les connaissances acquises en programmation lors des cours de mathématiques risquent d'être un peu justes. les exercices notés 💻 🖥 sont enrichissants en tant qu'exercices de programmation, notamment pour les élèves de NSI en début de classe de première.

Certains de ces exercices, surtout en analyse, nécessitent des compléments de cours. Ces compléments sont faciles à comprendre et à trouver sur le web, et si vous êtes élève votre professeur peut vous les expliquer rapidement. Quand j'y ai pensé, j'ai signalé sur les exercices la nature de ces compléments. Il s'agit principalement de :

Par ailleurs, les outils informatiques peuvent donner facilement la solution de certains exercices (et cela est très enrichissant à programmer). Si vous trouvez la solution par ce moyen, n'oubliez pas de prouver vos conjectures par la suite !


« Cette compilation contient des exercices que j'ai pratiquement tous donnés à mes élèves, pas toujours à une classe entière bien sûr, mais quelquefois à un petit groupe d'élèves motivés. Ce qui prouve qu'il y a eu à Joffre (et qu'il y a encore) d'excellents élèves. C'est à eux que je dédie ce recueil.
Les lecteurs voudront bien excuser et corriger les erreurs, coquilles et maladresses, et je les encourage à améliorer certains passages en considérant cet exemplaire comme une source d'idées et non comme un travail accompli.

                                                          Jean-Marc Dewasme »


J'ai également donné certains de ces exercices, sous une forme parfois différente -notamment avant de connaître ce recueil- à des élèves du lycée Pierre Poivre de la Réunion, et aussi à des élèves du lycée Jean Jaurès de Saint-Clément-de-Rivière. Ceci en classe entière, en devoir à la maison, ou bien à certains élèves uniquement. Et je confirme : il y a toujours d'excellents élèves, partout. Il suffit de leur donner de quoi se nourrir intellectuellement pour qu'ils se révèlent, ce que les programmes actuels (depuis 2012 en TS) ont tendance à oublier.

                                                          Frédéric Mandon

ARITHMETIQUE


Sur certains navigateurs, un problème d'affichage de MathJax ne fait pas apparaître les barres supérieures. Il faut alors lire \({abcd}_n \) comme étant le nombre \(abcd\) écrit en base \(n\).
  1. ☺ Déterminer les dimensions entières d'un rectangle dont le périmètre est égal à la surface.

  2. 💻 Trouver un nombre entier entre \(1\) et \(1999 \times 10^{11}\) et qui soit un carré, un cube et une puissance.

  3. ☺ (complément : bases de numération). Dans un système de numération \(N\), on note \(p\) et \(q\) les symboles de \(N - 1\) et \(N - 2\).
    Ecrire \(2p\) et \(p^{2}\) dans ce système.
    On suppose maintenant que \(N = n^2 + 1\), écrire les carrés des nombres \(a = \overline{nn}_N \) et \(b = \overline{pp}_N\)

  4. ☹ Droit d'aînesse
    Deux frères vendent un troupeau de moutons. Le prix de vente d’un mouton est, en euros, égal au nombre de moutons du troupeau. La vente terminée, ils sont en possession d’un nombre impair de billets de 10 euros, et de monnaie inférieure à 10 euros. L’aîné prend un billet de plus que son cadet et lui laisse la monnaie. Combien devrait-il lui redonner pour que le partage soit équitable ?

  5. 💻 Déterminer un nombre entier entre \(6\times 10^{4}\) et \(8\times 10^{4}\) qui soit le produit de 3 nombres premiers dont l’un est la somme des deux autres.

  6. Date historique
    Lors de la guerre de 14-18, en creusant une tranchée, on a découvert le cadavre d’un soldat espagnol armé d’une pertuisane. C’était le dernier jour du mois et le capitaine, qui avait de l’instruction, a multiplié la longueur en pieds de la pertuisane par son âge, le numéro du jour et la longueur en mètres de la tranchée pour trouver 3687901.
    Pouvez-vous trouver l’âge du capitaine et la date exacte de cette découverte ?

  7. 💻 🖥 (exploration).
    \(n\) étant un nombre écrit en système décimal, on appelle \(p\) le nombre formé par les deux derniers chiffres et \(q\) celui formé par les autres. On pose alors \(n' = q - 10p\). Montrer que \(n\) est divisible par 7 (ou 13) si et seulement si \(n'\) l’est.

  8. Soit \(n\) un nombre tel que la somme des tranches de deux chiffres à partir de la droite soit 1998. Quelle est la somme alternée des chiffres de \(n\) sachant que cette somme est strictement inférieure à 10 ?

  9. Opérations codéees ☠
    Reconstituez les opérations ci-dessous dans lesquelles les chiffres ont été remplacés par des lettres (en excusant les faiblesses en allemand).

  10. 💻 🖥 On choisit 15 nombres entre 1 et 2001 premiers 2 à 2. Montrer que parmi ces 15 nombres il y a un nombre premier.

  11. (complément : bases de numérations).
    Le professeur Mirot est invité à l'anniversaire d'Anita qu'il ne connaît pas. Les amies d'Anita ont préparé deux gâteaux. Sur le premier, l'âge d'Anita est représenté en système décimal par des bougies vertes pour les dizaines et des bougies blanches pour les unités. Sur le second, l'âge est écrit en système de base 12 avec des bougies roses et blanches, les blanches représentant toujours les unités. Mais le professeur Mirot est daltonien ! Il voit 9 bougies identiques sur le premier gâteau et 10 sur le second. Pouvez-vous l'aider à trouver l'âge d'Anita ?

  12. Le trésor des pirates.
    L'équipage d'un bateau pirate comprend 22 marins et un cuisinier chinois. Ils découvrent un coffre rempli de pièces d'or. Les pirates décident de se partager le trésor en parts égales et de laisser au cuisinier les 17 pièces restantes. Mais au cours d'une dispute 5 pirates sont tués; les autres refont le partage, ce qui ne laisse plus que 10 pièces au cuisinier.Le lendemain le bateau fait naufrage et sur île ne se retrouvent que 9 pirates, le cuisinier et le trésor. Après un nouveau partage le chinois, qui n'a plus que 4 pièces d'or, décide que cela a assez duré et empoisonne les 9 rescapés. Quel est le nombre minimal de pièces d'or en sa possession ?

  13. Pourquoi tant de \(n\) ? ☹ 💻
    Montrer que pour tout nombre entier \(n\) il existe un multiple de \(n\) qui ne s'écrit en système décimal qu'avec des 0 et des 1. Montrer que si \(n\) est impair non multiple de 5, il existe un multiple de \(n\) qui ne s'écrit qu'avec des 1 (ces nombres sont appelés des rep-unit).

  14. Période
    Quel est le plus petit entier \(n\) dont l'inverse a un développement décimal illimité formé de 5 chiffres distincts se répétant indéfiniment ?
    Pour la méthode, on peut commencer par prouver que \(0,9999\dots = 1\).

  15. 💻 🖥On dit qu'un entier \(n\) est heureux s'il existe deux entiers \(a\) et \(b\) tels que \(n = a + b\) et \(n\) divise \(ab\). Montrer que \(n\) est heureux sauf s'il est produit de deux facteurs premiers distincts.

  16. ☹☹ bien plus facile avec les indices, et très joli
    1. On considère la série harmonique \(u_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}\). Montrer que pour tout \(n >1\), \(u_n\) est sous forme de fraction irréductible le quotient d'un entier impair par un entier pair. En déduire que si \(n > 1\), \(u_n\) n'est pas un entier.
    2. Plus généralement, on considère la somme \(\displaystyle \sum_{i=m}^{i=n}\frac{1}{i}\), où \(0 < m \le n\).
      Montrer que si \(m=n=1\) la somme est entière (ça ne devrait pas être trop dur), et que si \(n=m>1\) la somme n'est pas entière (ça ne devrait pas être trop dur non plus).
      On se place dans le cas où \(n>m\). Montrer que \(\sum_{i=m}^{i=n}\frac{1}{i}\) n'est pas un entier.
    3. On se place dans le cas où \(n > m\).Soit \(2^r\) la plus grande puissance entière de 2 divisant au moins un entier dans \([n \dots m]\). Montrer qu'en fait \(2^r\) divise un unique entier dans \([n \dots m]\), en déduire que \(\sum_{i=m}^{n}\frac{1}{i}\) n'est pas un entier (théorème de Kurschak).

  17. Un exercice de JP Vaucelle. ☹☹ 💻
    Un jour Jean Dupont rencontra Albert Einstein et lui dit : "votre renommée est telle que je connais votre âge, mais vous ignorez le mien. Mon âge et le votre n'ont pas de diviseur commun, mais le votre pourrait être l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés seraient mon âge et celui de mon fils". Après un moment de réflexion Einstein déclara qu'il ne pouvait trouver ces âges. Alors Dupont ajouta : "mon fils est majeur". Aussitôt le grand Albert trouva les âges. Quels étaient ce jour-là les âges de Dupont et fils ? (Einstein est mort à 76 ans).

  18. 💻 🖥 Montrer que si \(a\), \(b\) et \(c\) sont sans diviseur commun et si \(b^2 = ac + a^2\) alors \(a\) est un carré.

  19. Sophisme ☠ et ☼ 💻facile à programmer, difficile à prouver
    On peut trouver des nombres de \(n\) chiffres dont le carré se termine par ces mêmes \(n\) chiffres.

  20. ☹☹ et ☼
    Soit \(n=4444^{4444}\). Montrer que \(n \lt 10^{16500}\). Si on appelle \(a\) la somme des chiffres de \(n\), \(b\) la somme des chiffres de \(a\) et \(c\) la somme des chiffres de \(b\), déterminer \(c\).

  21. 💻 🖥 Monsieur Septembre a eu 9 filles dont les âges sont régulièrement espacés du même nombre d'année. Cette année il s'aperçoit que le carré de son âge est égal à la somme des carrés des âges de ses filles. Quel âge a-t-il ? (il n'est pas centenaire)

  22. Binaire vous avez dit binaire... ☠ 💻 🖥
    On numérote des objets de 1 à \(n\) et on décide d'en éliminer un sur deux en renvoyant au fur et à mesure les non éliminés en fin de liste. Quel sera le dernier ?
    Remarque : c'est un exercice intéressant de programmation récursive.

  23. Indicateur d'Euler ☹☹ ☼
    Soit un entier \(n > 1\). On appelle \(\varphi(n)\) le nombre d'entiers inférieurs à \(n\) et premiers avec \(n\), et \(E_n\) l'ensemble de ces entiers.
    1. Montrer que la somme des éléments de \(E_n\) vaut \(\frac{1}{2}n\varphi(n)\)
    2. Montrer que si \(p\) est un nombre premier alors \(\varphi(p^k) = p^{k-1}(p-1)\).
    3. Soient quatre nombres \(m\), \(n\), \(u\), \(v\) tels que \(um + vn = 1\).
      Montrer que si \(x\) a comme reste \(\alpha\) dans la division par \(\beta\), alors \(x = vn\alpha + um\beta + \lambda mn\). En déduire qu'il existe un seul \(x_0\) tel que \(x_0 = vn\alpha + um\beta + \lambda mn\) entre \(0\) et \(mn\).
    4. Montrer que \(\alpha \land \ \beta = 1 \iff (\beta mu +\alpha nv)\land mn = 1\) (notation \(\alpha \land \ \beta = 1\) : premiers entre eux).
      Comprendre que cela signifie que la correspondance entre \((\alpha ; \beta)\) et \(x_0\) est une bijection de \(E_m \times E_n\) sur \(E_{mn}\). En déduire que si \(m\) et \(n\) sont premiers entre eux alors \(\varphi(mn) = \varphi(m)\varphi(n)\). Calculer alors la somme des entiers inférieurs à 2000 et premiers avec 2000.

  24. Polygones.
    Soit \(n\) un entier strictement supérieur à 2, et \(k\) un entier tel que \(0 ^\lt k \lt n\). On pose \(z_k = e^{\frac{2ik\pi}{n}}\).
    On appelle \(E_n\) l'ensemble des puissances de \(z_k\) et \(P_k\) le polygone obtneu en joignant les images de \(1, z_k, z_k^2, z_k^3, \dots, z_k^n\).
    Montrer que si \(k \land n = d\), alors \(E_k = E_d\), et que \(E_k\) contient \(\frac{n}{d}\) éléments distincts.
    En déduire le nombre de polygones à n côtés.

  25. ☹☹ (complément : bases de numération)
    On se propose de déterminer, dans une base donnée, des nombres de deux chiffres identiques dont le carré s'écrit avec quatre chiffres identiques, c'est à dire \(\overline{bb}^2 = \overline{aaaa} \)
    1. Montrer qu'il n'y a pas de solution en base 10. Vérifier qu'en base 41, \(b = 29\) est une solution (on donnera la valeur correspondante de \(a\).
    2. Montrer qu'ne base \(x\) le problème s'écrit \(b^2(x + 1) = a(x^2 + 1)\), et en déduire qu'il n'y a pas de solution si \(x\) est pair.
      Utiliser Gauss
    3. On suppose donc que \(x\) est impair, avec \(x = 2p + 1\). Montrer qu'alors \(a = p + 1\) et \(b = 2p^2 + 2p +1\).
    4. On considère l'hypothèse supplémentaire \(b = a + 1\). Montrer qu'il y a une solution unique.
    5. En revenant au cas général, on cherche donc \(p\) tel que \(p^2 + (p + 1)^2 = b^2\) (E).
      Déterminer les solutions pour \(p\) compris entre 0 et 20.
      On pose alors \(u_0 = 0\), \(u_1 = 3\), \(u_{n + 2} = 2 + 6u_{n + 1} - u_n\), et \(v_0 = 1\), \(u_1 = 5\), \(v_{n + 2} = 6v_{n + 1} - v_n\). Vérifier que \(p = u_3\) et \(b = v_3\) sont encore des solutions de (E).
      Vérifier que \(u_n = \frac{1 - \sqrt{2}}{4}(3 - 2\sqrt{2})^n + \frac{1 + \sqrt{2}}{4}(3 + 2\sqrt{2})^n - \frac{1}{2}\) et que \(v_n = \frac{2 - \sqrt{2}}{4}(3 - 2\sqrt{2})^n + \frac{1 + \sqrt{2}}{4}(2 + 2\sqrt{2})^n \)
      Vérifier alors que pour tout \(n\), \(p = u_n\) et \(b = v_n\) sont des solutions de (E).

  26. ☹☹ 💻 On se propose de déterminer les entiers \(a\) et \(b\) non nuls vérifiant \((a - b)^2 = a + b\). On supposera \(a \lt b\).
    1. On pose \(d = a \land b\), \(a = dx\), \(b = dy\). Montrer que \((x+y)\land(x-y)\) est égal à 1 ou 2.
    2. On suppose que \((x+y)\land(x-y) = 1\). Montrer que \(x + y = d\) et que \(d\) est impair. En posant \(d = 2n + 1\) déterminer \(a\) et \(b\) en fonction de \(n\).
    3. On suppose que \((x+y)\land(x-y) = 2\). Déterminer \(a\) et \(b\) en fonction de \(d\).
    4. Déterminer \(a\) et \(b\) sachant que le reste de la divison de \(a\) par \(b\) est 237.

  27. ☹☹ (complément : bases de numération)
    Soit une base \(x \gt 2\) et deux entiers \(a\) et \(b\) tels que \(0 \lt a \lt b \lt x\). on note dans cette base \(n = \overline{ab}\) et \(n' = \overline{ba}\), et on dit que \(n\) est un codiviseur en base \(x\) si \(n'\) est un multiple de \(n\), c'est-à-dire s'il existe \(k\) tel que \(n' = kn\).
    1. On suppose connus \(x\), \(a\) et \(b\). Montrer que nécessairement \(2 \leq k \lt x -1\). On pose donc (pourquoi ?) \(r = b - ak\). Montrer que \(1 \leq r \leq k -1, bk = rx + a, rx = (k^2 -1)a + kr\).
    2. Réciproquement montrer que les formules précédentes permettent de déterminer un codiviseur.
    3. Montrer que \(k + 1\) et \(x + 1\) ne peuvent être premiers entre eux, et qu'en particulier il n'y a pas de codiviseur si \(x + 1\) est premier. Etablir que \(2k \leq x\), et que \(x \geq 5\).
    4. On choisit \(x\) tel que \(x + 1 = uv\), avec \(u > 1\) et \(v > 1\), et \(r = k - 1\). Montrer qu'il y a au moins un codiviseur. Déterminer tous les codiviseurs de la base 17.

  28. Etude de \(a\mathbb{N} + b\mathbb{N}\). ☠
    Soient deux entiers \(a\) et \(b\) tels que \(1 \lt a \lt b\). On appelle \(E\) l'ensemble des entiers \(x\) non nuls qui peuvent s'écrire sous la forme \(x = am + bn\), où \(m\) et\(n\) sont des entiers naturels, e \(F\) l'ensemble \(\mathbb{N}^*\backslash E = \mathbb{N}^* - E = C_\mathbb{N}^E\).
    1. Montrer que \(F\) est non vide.
    2. Montrer que si \(a\) et \(b\) ne sont pas premiers entre eux, alors \(F\) est non borné.
    3. On suppose que \(a \land b = 1\). Montrer que tous les entiers \(N \geq ab - a - b + 1\) sont élément de \(E\). En déduire que \(F\) a un plus grand élément et a pour cardinal \(\frac{1}{2}(a - 1)(b - 1)\).

  29. Avec Fermat ☹☹
    Soit \(a = 11\dots 122\dots 2\dots 99\dots 9\) où tout chiffre de 1 à 9 est écrit \(p\) fois, et \(b = 123456789\). Montrer que si \(p\) est un nombre premier alors \(a - b\) est divisible par \(p\).

  30. ☠ 💻 🖥 Déterminer les nombres réels tels qu'en supprimant n'importe quel chiffre de leur écriture décimale, le nouveau nombre obtenu soit divisble par 7.

  31. Polynômes de Dewasme ☠ 💻
    \(a\) et \(b\) étant des entiers naturels, montrer que si \(a^2 + b^2\) est divisible par \(1 + ab\) alors le quotient est un carré.
    \(n\) étant choisi, déterminer les couples \((a ; b)\) pour que leur quotient soit \(n^2\).

  32. Le problème qui rend fou ☠
    On propose à deux excellents mathématiciens de découvrir deux nombres. Pour cela on donne au premier Arthur la somme de ceux deux nombres, et au deuxième Barnabé leur produit. S'engage alors le dialogue suivant : Barnabé "je ne peux pas trouver ces nombres", Arthur "je le savais", Barnabé "alors je les connais", Arthur "alors moi aussi". Et vous, pouvez-vous trouver ces nombres ?

  33. ☹☹ 💻 🖥 Etant donnés 10 nombres entre 1 et 100, on peut toujours former deux sommes égales en utilisant certains de ces nombres.

  34. ☹ Montrer que parmi les nombres qui s'écrivent en alternant des 0 et 1, comme 10101, il y a un seul nombre premier.

  35. Nombre de divisions dans l'algorithme d'Euclide ☼
    Le but du problème est de déterminer une approximation du nombre de divisions nécessaire dans l'algorithme d'Euclide pour la détermination du pgcd de deux nombres \(a\) et \(b\), avec \(a \gt b\). Il est plus que conseillé de faire des exercices de la partie "analyse" sur le nombre d'or et la suite de Fibonacci avant de s'attaquer à ce problème.
    La suite de Fibonacci que l'on utilisera dans cette partie est définie par \(w_0 = 0\), \(w_1 = 1\), et \(w_{n + 2} = w_{n + 1} + w_n\).
    1. Montrer par récurrence que \(w_{n + 1}\) et \(w_n\) sont premiers entre eux.
    2. Montrer que \(w_n = \frac{1}{\sqrt{5}}(\varphi^n - \psi^n)\), où \( \varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \) et \( \psi = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \) (\(\varphi\) est le nombre d'or).
    3. Dans cette question, on suppose que \(N\) est un entier fixé. Le but de la question est de déterminer le plus grand entier \(M\) tel que \(w_n\) plus grand terme de la suite de Fibonacci inférieur ou égal à \(10^n\).
      1. Montrez que pour tout n entier on a \(-1 \lt \ln(1-(\frac{\psi}{\varphi})^n) \lt 1\).
      2. .
      3. Montrer que \(M \leq \frac{N\ln 10 + \ln \sqrt{5}+ 1}{\ln \varphi}\). On a donc un majorant de \(M\).
        Reamrque : on obtient aussi très (?) facilement (??) un minorant. Autre remarque: très rapidement, on a \(\ln(1-(\frac{\psi}{\varphi})^n) \simeq 0\), on pourrait donc prendre \(M = ENT(\frac{N\ln 10 - \ln \sqrt{5}}{\ln \varphi})\) note de FM : j'ai écrit (ce sujet et donc) cette remarque en 1995, je ne sais plus pourquoi...XD)
    4. La suite de Fibonacci que l'on utilisera dans cette partie est définie par \(u'_0 = 1\), \(u_1 = 1\), et \(u_{n + 2} = u_{n + 1} + u_n\).
      Dans l'algorithme d'Euclide, on note :
      \(a = bq_n + v_n\)
      \(b = v_nq_{n -1}+ v_{n - 1}\)
      \(v_n = v_{n - 1}q_{n -2}+ v_{n - 2}\)
      \(\vdots\)
      \(v_2= v_1q_0+ v_0\)
      \(v_1 = v_0q_{final}\)
      1. Démontrer que \(v_{k + 2} \geq v_{k + 1} + v_k\).
      2. Démontrer par récurrence que \(v_{k + 1} \geq u_{k + 1}\) et \(v_{k} \geq u_{k}\).
      3. Démontrez que si \(a\) et \(b\) sont inférieurs à \(u_M\), où \(M\) est un entier fixé, alors le nombre de divisions pour calculer \(pgcd(a ; b)\) est inférieur ou égal à \(M + 1\) (nombre de termes de la suite jusqu'à \(u_M\)).
    5. On suppose maintenant que \(a\) et \(b\) sont inférieurs à \(10^N\), où \(N\) est un entier fixé. Donner un majorant du nombre de divisions à effectuer pour calculer \(pgcd(a ; b)\). Application avec \(a\) et \(b\) inférieurs à 1 milliard (vérification possible avec tableur ou Pyhton. En Python on peut tester avec des entiers arbitrairement grands).

  36. Fractions continues
    1. Etant donné un réel positif \(x\) non entier, montrer qu'il existe un couple unique \((a_0 ; x_1) \in \mathbb{N}\times ]1 ; +\infty[\) tel que \(x = a_0 + \frac{1}{x_1}\), et ainsi de proche en proche \(x_n = a_n + \frac{1}{x_{n - 1}}\).
      Montrer que si \(x\) est rationnel, alors il existe \(n\) tel que \(x_n\) soit entier (penser à l'algorithme d'Euclide). La réciproque est triviale, rédiger tout de même la conclusion.
    On suppose dans la suite que \(x\) est irrationnel. L'opération est alors illimitée et on dit qu'on développe \(x\) en fraction continue.
    On appelle alors \(r_n = \frac{p_n}{q_n}\) le rationnel obtenu en arrêtant l'opération à \(a_n\) :
    \(r_n =a_0 + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle a_1 + \frac{1}{\displaystyle a_2 + \frac{1}{\displaystyle \dots + \frac{\displaystyle \dots}{\displaystyle {a_{n - 1} + \frac{1}{a_n}}}}}}\)
    1. Montrer par récurrence que \(\displaystyle x = \frac{p_n x_{n+1} + p_{n - 1}}{q_n x_{n+1} + q_{n - 1}}\), avec \(p_n = a_n p_{n-1} + p_{n - 2}\) et \(q_n = a_n q_{n-1} + q_{n - 2}\). On posera \(p_{-2} = 0\), \(p_{-1} = 0\), \(q_{-2} = 1\), \(q_{-1} = 0\) (pourquoi ?).
    2. Montrer que \(p_n q_{n - 1} - q_n p_{n - 1} = (-1)^n\). En déduire que \(r_n\) est irréductible et que \(x\) est compris entre \(r_n\) et \(r_{n - 1}\).
    3. Montrer que la suite \((q_n)\) est strictement croissante à partir d'un certain rang, et que \(q_n \gt 2q_{n - 2}\). Donner la limite de \(q_n\) en \(+\infty\), et montrer que \(r_n - x\) tend vers 0.
    4. Déterminer \(a_n\) pour \(x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\) et pour \(x = 1 + \sqrt{2}\).