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Exercices sur les complexes et la géométrie pour la préparation aux études supérieures


Présentation

Une collection d'exercices provenant pour les deux tiers, d'un recueil de Jean-Marc Dewasme, anciennement professeur au lycée Joffre de Montpellier. Quelques uns proviennent d'un vieux livre de TS de M. Terracher, en tant que tels ils sont protégés mais c'est pêcher que de les laisser se perdre ; d'autres sont de mon cru, certaines rédactions viennent de M. Amposta (lycee.mathematiques.free.fr), et enfin d'autres sont de provenance inconnue, glanés au fil du temps.

« Cette compilation contient des exercices que j'ai pratiquement tous donnés à mes élèves, pas toujours à une classe entière bien sûr, mais quelquefois à un petit groupe d'élèves motivés. Ce qui prouve qu'il y a eu à Joffre (et qu'il y a encore) d'excellents élèves. C'est à eux que je dédie ce recueil.
Les lecteurs voudront bien excuser et corriger les erreurs, coquilles et maladresses, et je les encourage à améliorer certains passages en considérant cet exemplaire comme une source d'idées et non comme un travail accompli.

                                                          Jean-Marc Dewasme »


J'ai également donné certains de ces exercices, sous une forme parfois différente -notamment avant de connaître ce recueil- à des élèves du lycée Pierre Poivre de la Réunion, et aussi à des élèves du lycée Jean Jaurès de Saint-Clément-de-Rivière. Ceci en classe entière, en devoir à la maison, ou bien à certains élèves uniquement. Et je confirme : il y a toujours d'excellents élèves, partout. Il suffit de leur donner de quoi se nourrir intellectuellement pour qu'ils se révèlent, ce que les programmes ont eu tendance à oublier pendant plusieurs années.

                                                          Frédéric Mandon

Les indications de difficulté (☹ , ☹☹ et enfin ☠) ne sont pas forcément de moi, je n'ai pas forcément le même ressenti, à chacun ses goûts et ses couleurs !

Certains exercices, sans être corrigés, bénéficient d'indices/de pistes de réflexion. La difficulté devient alors bien plus raisonnable.

Par ailleurs, certains de ces exercices me paraissent faciles pas trop difficiles envisageables, je les ai signalés avec un ☺. N'ayant pas fait ou refait depuis longtemps une partie de ces exercices, et jamais pour quelques-uns, il est fort possible que j'en ai oublié.

Les exercices me paraissant particulièrement enrichissants sont signalés par ☼. J'ai essayé de mettre dans cette catégorie des exercices en majorité ☺.

Les exercices présentant un intérêt certain en programmation sont signalés par 💻. Pour certains, on peut trouver la solution avec un programme, pour d'autres il s'agit plus d'explorer et de conjecturer. Quelques programmes, notamment en arithmétique, demandent des connaissances sur les types ; les connaissances acquises en programmation lors des cours de mathématiques risquent d'être un peu justes. les exercices notés 💻 🖥 sont enrichissants en tant qu'exercices de programmation, notamment pour les élèves de NSI en début de classe de première.

Certains de ces exercices, surtout en analyse, nécessitent des compléments de cours. Ces compléments sont faciles à comprendre et à trouver sur le web, et si vous êtes élève votre professeur peut vous les expliquer rapidement. Quand j'y ai pensé, j'ai signalé sur les exercices la nature de ces compléments. Il s'agit principalement de :

Par ailleurs, les outils informatiques peuvent donner facilement la solution de certains exercices (et cela est très enrichissant à programmer). Si vous trouvez la solution par ce moyen, n'oubliez pas de prouver vos conjectures par la suite !


Les exercices

Remarque préliminaire : pour de nombreux exercices utilisant les complexes en géométrie, il est utile de connaître les expressions complexes des transformations usuelles.
  • Rotation de centre \(\Omega\) d'affixe \(\omega\) et d'angle \(\theta\) : \(z' - \omega = \mathrm e^{i\theta} (z - \omega)\)
  • Translation de vecteur \(\vec u\) : \(z' = z + z_{\vec u}\)
  • Homothétie de centre \(\Omega\) d'affixe \(\omega\) et de rapport \(k\) : \(z' - \omega = k(z - \omega)\)
  • Similitude de centre \(\Omega\) d'affixe \(\omega\), d'angle \(\theta\) et de rapport \(k\) positif : \(z' - \omega = k\mathrm e^{i\theta} (z - \omega)\). Une similitude est une composée de rotation et d’homothétie de rapport positif. Utile pour, par exemple, un triangle rectangle isocèle, qu’on peut obtenir avec une similitude de rapport \(\sqrt{2}\) et d'angle \(\frac{\pi}{4}\).
Deuxième remarque :j'aurais mis tous ces exercices ☼, pas forcément pour une question de goût, mais parce que les raisonnements sur les complexes avec leur changement perpétuel de cadre, entre géométrie et calcul, sont très riches.

  1. On considère un triangle équilatéral \(ABA'\), \(O\) le milieu du segment \([AA']\), et un repère orthonormal d'origine \(O\) dans lequel \(B\) a pour affixe \(i\). Les bissectrices du repère coupent \((AB)\) et \((A'B)\) en \(C\) et \(C'\) respectivement.
    Montrer que si \(C\) a pour affixe \(c\), alors \(C'\) a pour affixe \(ic\), et que \(c' = c\mathrm e^{-i\frac{\pi}{3}} + i\mathrm e^{i\frac{\pi}{3}}\). En comparant les deux expressions déterminer \(c\) sous forme algébrique et trigonométrique.


  2. ☹ La droite de Simpson
    Soit \(P\) un pont d'affixe \(p\), soit \(\Gamma\) le cercle de diamètre \([OP]\).\(A\), \(B\) et \(C\) sont trois points du cercle \(\Gamma\) d'affixes respectives \(a\), \(b\) et \(c\). On désigne par \(A'\), \(B'\) et \(C'\) les points d'affixes respectives \(\displaystyle a'=\frac{bc}{p}\), \(\displaystyle b'=\frac{ca}{p}\) et \(\displaystyle c'=\frac{ab}{p}\).
    1. Que peut-on dire de \(\displaystyle \frac{p - a}{a}\)
    2. Montrer que \(A'\) est la projection orthogonale de \(O\) sur \((BC)\) (idem pour \(B'\) et \(C'\)).
    3. Montrer que \(A'\), \(B'\) et \(C'\) sont alignés.


  3. Le théorème de Johnson.
    On considère trois cercles \(C_1\), \(C_2\) et \(C_3\), de centres \(P\), \(Q\) et \(R\), et de même rayon \(\gamma\), ayant un point commun \(O\). \(C_2\) et \(C_3\) se recoupent en \(A\), \(C_3\) et \(C_1\) en \(B\), \(C_1\) et \(C_2\) en \(C\). On appelle \(\Omega\) le centre du cercle du cercle \(\Gamma\) circonscrit à \(ABC\), \(G\) et \(G'\) les centres de gravité des trianles \(ABC\) et \(PQR\).
    On choisit \(O\) comme origine, et on appelle \(p\), \(q\) et \(r\) les affixes de \(P\), \(Q\) et \(R\) (et de même pour les autres points).
    1. Déterminer les affixes de \(A\), \(B\) et \(C\).
    2. Montrer que \(p + q + r\) est l'affixe de \(\Omega\).
      1. \(ABC\) et \(PQR\) sont symétriques par rapport au milieu \(S\) de \([O\Omega]\).
      2. \(\Gamma\) a pour rayon \(\gamma\).
    3. On pose \(\displaystyle z = \frac{p + r}{p - r}\). Montrer que \(z\) est imaginaire pur, que \(\displaystyle z = \frac{b}{c - a}\). En déuire que \(\Omega\) est l'orthocentre de \(PQR\) et \(O\) celui de\(ABC\).


  4. Soit \(\varphi\) le nombre d'or, solution positive de \(\varphi^2 = \varphi + 1\).
    1. Montrer que \(\varphi^{n + 2} = u_{n + 1}\varphi + u_n\), où \(u_n\) est la suite de Fibonacci vérifiant \(u_0 = u_1 = 1\) et \(u_{n + 2} = u_{n + 1} + u_n\).
    2. Soit \(\displaystyle \alpha \in \left[0 ; \frac{\pi}{2} \right]\) tel que \(\displaystyle \cos \alpha =\frac{1}{2\varphi}\). Calculer \(\cos 5\alpha\) (on pourra utiliser la forme exponentielle des nombres complexes, ainsi que les résultats du 1). En déduire \(\alpha\).
    Dans la suite on appelle triangle d'or un triangle isocèle d'angle au sommet \(\displaystyle\frac{\pi}{5}\). Si\(ABC\) est un tel triangle, avec \(AB = AC\), on note \((CD)\) et \((BE)\) les bissectrices qui se coupent en \(I\), où \(D \in [AB]\) et \(E \in [AC]\), et \(s\) la similitude définie par \(s(A) = C\) et \(s(C) = B\).
    1. Quels sont l'angle et le rapport de \(s\) ?
      Remarque : pour ceux qui n'ont jamais travaillé sur les similitudes : angle \(= \left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{CB}\right)\) et rapport \(\displaystyle = \frac{CB}{AC}\). Cela vient de \(s(A) = C\) et \(s(C) = B\).
    2. Montrer que \(s(B) = D\) et \(s(D) = I\). En déduire que si \(O\) est le centre de \(s\), alors \(O\), \(A\), \(D\) et \(C\)) sont cocycliques, ainsi que \(O\), \(C\), \(I\) et \(B\).
      Il est contre-productif d'utiliser le théorème classique suivant, que l'on peut néanmoins démontrer grâce à ses connaissances de 3ème sur les angles inscrits : \(ABCD\) sont cocycliques ou alignés sssi \(\displaystyle \frac {c - a}{b - a}\times \frac{b - d}{c - d}\)est réel.
    On définit \(J\) et \(K\) par \(A = s(J)\) et \(J = s(K)\).
    1. Montrer que \(J\), \(B\) et \(C\) sont alignés ainsi que \(K\), \(A\) et \(C\).
    2. Montrer que \(O\), \(B\), \(E\) et \(K\) sont cocycliques, que \(B\) est le centre du cercle inscrit dans \(AKJ\), et que \(O\) est à l'intersection de \((KD)\) et \((IJ)\).
    3. Etant donné un repère orthonormal d'origine \(B\) dans lequel \(C\) a pour affixe 1, déterminer l'expression complexe de \(s\), et l'affixe de \(O\).


  5. Exponentielle complexe
    Rappels/indices :
    • \(a^b = \mathrm e^{b\ln a}\)
    • \(\displaystyle\lim\limits_{h \to 0} \frac{\ln(1 + h)}{h} = 1\) et \(\displaystyle\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\)
    1. Montrer que \(\displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} \left(1 + \frac{x}{n} \right)^n = \mathrm e^x\).
    2. Soit \(z\) un complexe avec \(z = x + iy\).
      On pose \(\displaystyle Z =\left(1 + \frac{z}{n}\right)^n\) , \(\left|Z\right| = R\) , \(\arg(Z) = \theta\), \(\displaystyle\left|1 + \frac{z}{n}\right| = r\), \(\displaystyle\arg\left(1 + \frac{z}{n}\right) = \alpha\).
      1. Montrer que \(\displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} R = \mathrm e^x\).
      2. Calculer \(\displaystyle\tan\left(\frac{\theta}{n}\right)\) en fonction de \(x\) et \(y\), et montrer que \(\displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} n\cdot\tan\left(\frac{\theta}{n}\right) = y\).
      3. En déduire la limite de \(\theta\).
        On pourra calculer \(\displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} \frac{y}{\theta}\)
      4. Conclure que \(Z\) a pour limite \(\mathrm e^z\).


  6. L'heptagone ☹ (dernier calcul uniquement) et ☼
    Indices:
    • Théorème de l'angle inscrit : deux angles inscrits dans un même cercle, interceptant le même arc, ont la même mesure (s'ils sont sur le même arc), ou sont supplémentaires (s'ils sont sur les arcs complémentaires). L'angle au centre vaut deux fois l'angle inscrit si ce dernier est aigu, sinon il vaut \(2(\pi - \alpha)\).
    • Une homothétie de centre \(\Omega\) et de rapport \(k\) transforme \(A\) en \(A'\) tel que \(\overrightarrow{\Omega A} = k\overrightarrow{ \Omega A'}\). Une homothétie tranforme un milieu en milieu, un cercle circonscrit en cerle circonscrit, un point d'intersection en point d'intersecrtion, conserve l'orthogonalité/le parallélisme de deux droites etc. De plus c'est une autre façon de voir Thalès : l'image d'un segment par une homothètie est un segment de longueur multipliée par \(|k|\).
    On considère les points \(A_k\) d'affixes \(\mathrm e^{2ik\frac{\pi}{7}}\) : ce sont les sommets de l'heptagone régulier de centre \(O\) (on l'admet).