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Exercices d'analyse pour la préparation aux études supérieures


Présentation

Une collection d'exercices provenant pour les deux tiers, d'un recueil de Jean-Marc Dewasme, anciennement professeur au lycée Joffre de Montpellier. Quelques uns proviennent d'un vieux livre de TS de M. Terracher, en tant que tels ils sont protégés mais c'est pêcher que de les laisser se perdre ; d'autres sont de mon cru, certaines rédactions viennent de M. Amposta (lycee.mathematiques.free.fr), et enfin d'autres sont de provenance inconnue, glanés au fil du temps.

« Cette compilation contient des exercices que j'ai pratiquement tous donnés à mes élèves, pas toujours à une classe entière bien sûr, mais quelquefois à un petit groupe d'élèves motivés. Ce qui prouve qu'il y a eu à Joffre (et qu'il y a encore) d'excellents élèves. C'est à eux que je dédie ce recueil.
Les lecteurs voudront bien excuser et corriger les erreurs, coquilles et maladresses, et je les encourage à améliorer certains passages en considérant cet exemplaire comme une source d'idées et non comme un travail accompli.

                                                          Jean-Marc Dewasme »


J'ai également donné certains de ces exercices, sous une forme parfois différente -notamment avant de connaître ce recueil- à des élèves du lycée Pierre Poivre de la Réunion, et aussi à des élèves du lycée Jean Jaurès de Saint-Clément-de-Rivière. Ceci en classe entière, en devoir à la maison, ou bien à certains élèves uniquement. Et je confirme : il y a toujours d'excellents élèves, partout. Il suffit de leur donner de quoi se nourrir intellectuellement pour qu'ils se révèlent, ce que les programmes ont eu tendance à oublier pendant plusieurs années.

                                                          Frédéric Mandon

Les indications de difficulté (☹ , ☹☹ et enfin ☠) ne sont pas forcément de moi, je n'ai pas forcément le même ressenti, à chacun ses goûts et ses couleurs !

Certains exercices, sans être corrigés, bénéficient d'indices/de pistes de réflexion. La difficulté devient alors bien plus raisonnable.

Par ailleurs, certains de ces exercices me paraissent faciles pas trop difficiles envisageables, je les ai signalés avec un ☺. N'ayant pas fait ou refait depuis longtemps une partie de ces exercices, et jamais pour quelques-uns, il est fort possible que j'en ai oublié.

Les exercices me paraissant particulièrement enrichissants sont signalés par ☼. J'ai essayé de mettre dans cette catégorie des exercices en majorité ☺.

Les exercices présentant un intérêt certain en programmation sont signalés par 💻. Pour certains, on peut trouver la solution avec un programme, pour d'autres il s'agit plus d'explorer et de conjecturer. Quelques programmes, notamment en arithmétique, demandent des connaissances sur les types ; les connaissances acquises en programmation lors des cours de mathématiques risquent d'être un peu justes. les exercices notés 💻 🖥 sont enrichissants en tant qu'exercices de programmation, notamment pour les élèves de NSI en début de classe de première.

Certains de ces exercices, surtout en analyse, nécessitent des compléments de cours. Ces compléments sont faciles à comprendre et à trouver sur le web, et si vous êtes élève votre professeur peut vous les expliquer rapidement. Quand j'y ai pensé, j'ai signalé sur les exercices la nature de ces compléments. Il s'agit principalement de :

Par ailleurs, les outils informatiques peuvent donner facilement la solution de certains exercices (et cela est très enrichissant à programmer). Si vous trouvez la solution par ce moyen, n'oubliez pas de prouver vos conjectures par la suite !


Les exercices

  1. Le peloton du tour de France fait 100 mètres de long et roule à vitesse constante v. Une moto roulant à vitesse constante V part du dernier coureur, remonte jusqu'au premier, fait demi tour instantanément et repart tout aussi instantanément à la même vitesse constante V, puis croise le dernier coureur du peloton au moment ou celui-ci a parcouru 100 mètres depuis que la moto l'a quitté. Quelle distance a parcouru la moto entre les deux moments où elle côtoie le dernier coureur ?

  2. Le train sifflera trois fois.
    Sur une voie ferrée rectiligne, un train traverse un passage à niveau avant d'entrer en gare, et donne un coup de sifflet du passage à niveau jusqu'au-delà de la gare. Monsieur Machin, Cheminot, a remarqué que la durée du coup de sifflet lui paraissait plus courte de 1,5 secondes quand il travaillait au-delà de la gare que quand il était avant le passage à niveau où, par contre, elle lui paraissait plus courte d'une seconde que quand il était à la gare. Quelle est la distance entre la gare et la passage à niveau ? Quelle est la distance parcourue par le train pendant son coup de sifflet ?

  3. ☹ 🖥 💻 (trigo)
    Une caisse cubique de 70 centimètre de côté est posée contre un mur. On appuie contre le mur une échelle de 2,5 mètres qui est contact avec le mur. A quelle hauteur maximale l'échelle peut-elle s'appuyer sur le mur ?

  4. ☹ ☹ (trigo) Le rectangle de côtés 5 et 1 doit, en glissant en A et B, passer entre les deux demi-droites parallèles d'origine 0 et C. On donne (OB;OA)=3π4. Quelle doit être la distance minimale OC ?

  5. ☺ Un escalier roulant monte à vitesse constante. Léon monte 20 marches et arrive en 15 secondes ; Suzy en montant 22 marches ne met que 12 secondes, et Gaston qui descend met 18 secondes. Combien a-t-il descendu de marches ?

  6. ☠ L'escalier du pharaon.
    Un escalier comporte 9 marches de hauteurs respectives en partant du bas 1 - 1,5 - 0,7 - 1 - 1,2 - 1 - 0,8 - 1,2 - 1 et de profondeurs 3 - 4 - 1 - 5 - 3 - 4 - 4 - 3 (la dernière est le palier). Le pharaon décide de le transformer en un escalier de 4 marches en minimisant le volume à ajouter. Donner les dimensions des nouvelles marches.


  7. ☼ Le Petit Chaperon Rouge part de chez elle à 8h00, arrive chez sa grand-mère dans l'après-midi (sans rencontrer personne). Le lendemain, après un bon civet de loup, elle repart de chez sa grand-mère à 8h00, et arrive chez elle tranquillement, en empruntant le même chemin en sens inverse. Montrer qu'il existe un endroit du chemin par lequel elle est passée exactement à la même heure les deux jours.

  8. ☹☹ et ☼ (pour l'apprentissage du principe des tiroirs de Dirichlet)
    On choisit un nombre réel x et un entier n. Montrer que parmi les nombres x,2x,3x,,(n1)x il y en a au moins un qui est à moins de 1nd'un entier ( principe des tiroirs de Dirichlet : si on a n+1 chaussettes et n tiroirs, alors au moins un tiroir comporte deux chaussettes).

  9. ☺ ☼ Flocon de Von Koch.
    La courbe K0 est un triangle équilatéral de côté 1 et d'aire s. On définit par récurrence une famille de courbes Kn de la manière suivante : chaque courbe est obtenue à partir de la précédente en remplaçant chaque segment par une ligne brisée, en construisant un triangle équilatéral sur le tiers central du segment. Déterminer le périmètre et l'aire de Kn, ainsi que leur limite quand n tend vers +. Conclusion ?

  10. ☺ ☼ Nombre d'or 1.
    Montrer que 1+11+11+11+1=1+1+1+1+
    On pourra montrer que vn+1φ=1+52vn(φvn), d'où |vn+1φ||vnφ|, où v0=1 et vn+1=1+1vn et φ=1+52.

  11. ☺ 🖥 Fibonacci 1. On considère la suite de Fibonacci définie par u0=0, u1=152, et un+2=un+1+un. Conjecturer la limite de la suite en calculant les 100 premiers termes. Il peut être intéressant d'utiliser à la fois Python, tableur, et calculatrice.
    Soient φ=1+52 et ψ=152. Vérifier que φ et ψ sont les solutions de l'équation x2x1=0. En déduire que l'on a un=ψn.
    Conclure sur la validité des conjectures.

  12. Fibonacci 2
    1. De combien de façons fn peut-on remplir un tonneau de n litres avec un pot de 1 litre et 1 pot de 2 litres ? Le sens du "nombre de façons" fait intervenir l'ordre ; ainsi il y a trois façons de remplir un tonneau de 3 litres : 1-2, 1-1-1, 2-1. On prendra f0=1 en pensant qu'il n'y a qu'une seule façon de remplir un tonneau déjà plein, c'est de ne rien faire. Justifier que fn+2=fn+fn+1
    2. De telles suites, définies par leurs 2 premiers termes et cette relation de récurrence s'appellent suites de Fibonacci, du nom de celui qui les a caractérisé par le nombre d'or (vers 1200).
    3. Quelle relation de récurrence vérifie la suite (qn) définie par \(q_n = \frac{f_{n+1}{f_n}\).En déduire la convergence de la suite (qn) (on peut faire l'exercice Nombre d'Or 1 !)
    4. Montrer que les suites (un) et (vn) définies respectivement par vn=φn et un=ψn sont des suites de Fibonacci. En déduire que toute suite s'écrivant un=aφn+bψn est une suite de Fibonacci.
      Montrer maintenant la réciproque : toute suite de Fibonacci s'écrit sous la forme un=aφn+bψn. Pour cela on déterminera a et b en fonction de u0 et v0. Donner les valeurs de a et b dans le cas précis de la suite étudiée au 1.

  13. Nombre d'or 2
    Résoudre l'équation x=1+11+11+11+11+1x (n dénominateurs superposés)

  14. Nombre d'or 3
    Soit un la suite définie par u0=2 et un+1=un2+12un1.
    Montrer que la suite un converge vers le nombre d'or φ=1+52.
    Montrer que un+1φ12(unφ)2, en déduire que u8 est une approximation de φ à au moins 10153.

  15. Nombre d'Or 4
    On définit la suite (zn)nN par z0=1+i et zn+1=1+1zn.
    Partie A : étude directe (et incomplète)
    1. Conjecturer la limite de la suite (zn)nN. On pourra utiliser des outils de calcul.
      Remarque : Pyhton accepte les complexes sous la forme z = a + bj ou z = complex(a,b), avec j à la place de i, et sans signe de multiplication entre b et j. L'instruction phase(z) permet de calculer une mesure de l'argument. Il faut préciser from cmath import * en début de programme.

  16. ☹ Soit un=k=1k=n1k et vn=unn. Montrer que 1n+12n+12n1n.
    En déduire par itération que la suite vn diverge, et que la suite un est décroissante et convergente.


  17. Série harmonique et Constante d'Euler-Mascheroni (voir aussi exercice 16 sur le même thème, du côté arithmétique).

    1. On considère la série harmonique un=1+12+13++1n. En regroupant des termes successifs, montrer que u2n1+12n. En déduire que la série diverge vers +.
    2. On considère la série harmonique alternée un=112+13++(1)nn+1.
      1. Calculer 01(t)ndt, où nN.
      2. Calculer limn+01(t)n+11+tdt, où nN.
      3. En déduire la limite de la série harmonique alternée.
    3. On vient de voir au 1 que la série harmonique diverge. On sait également que la suite (lnn)nN diverge vers +.Comparons les deux.

      Montrer que pour tout entier n>1, 1n+1ln(n+1n)1n.

      On pose un=1+12+13++1n1lnn et vn=1+12+13++1nlnn. Montrer que la suite un est croissante, vn est décroissante, et que ces deux suites ont la même limite γ appartenant à ]0;1[.

      Remarque : on en conclut que les deux suites (série harmonique et (lnn)nN) ont la même "vitesse de convergence".


  18. ☹☹ On pose u1=1 et un+1=2un+3un2+1. Montrer que un est entier pour tout nN.


  19. ☹☹ a est un entier impair. On pose u0=b entier positif, et si un est pair, alors un+1=12un, alors que si un est impair, un+1=un+a. Montrer qu'il existe p tel que upa, et que un est périodique à partir du rang p.


  20. Algorithme de Babylone.

    On définit la suite (un)nN par u0=2 et un+1=12(un+2un).
    1. Montrer que la suite (un)nN) vérifie 2un+1un2. Conclure sur la convergence de la suite, puis détermniner le limiite L de (un)nN.
    2. D'après la calculatrice, et avec un peu d'intuition, à partir de quel rang a-t-on une valeur approchée de L à 3.104 près ? A 2.1012 près ? A 1048 près ?
    3. Calculer limn+un+1L(unl)2. En déduire que |un+1L|122|unL|. Si un est une valeur approché de L à 10k, que peut-on dire sur la précision de un+1 en tant que valeur approchée de L ?


  21. Simplifier


  22. Etudier rapidement la fonction f(x)=x39xx21. On note D l'ensemble de définition de f et I=]1;1[. On considère aD et l'équation f(x)=f(a). Montrer que cette équation a trois solutions, dont une et une seule dans D. Déterminer algébriquement les trois solutions. Représenter graphiquement la fonction g qui à a associe celle des solutions qui est dans I.


  23. Le paravent. Un paravent est constitué de deux parties MA et MB articulées en O, de 1 mètre chacune. On place ce paravent dans le coin (à angle droit) BOA d'une pièce, M étant sur la bissectrice. On cherche à obtenir une surface OAMB maximale.

    Etudier ce problème :
    1. En prenant comme inconnue l'abscisse x de M dans un repère (O;i;j);
    2. En prenant comme inconnue l'angle θ=(AM;OB).


  24. ☹ ☼ (compléments : asymptotes obliques)

    Soit f la fonction définie sur R par f:xx4+|x24x|. On note Cf sa courbe représentative.

    Etudier f en séparant les cas suivant les valeurs de x ; ne pas oublier la dérivabilité en 0 et en 4 (on montrera l'existence de demi-tangentes verticales).

    Pour trouver les équations des asymptotes obliques en + et en on pourra utiliser la méthode suivante :

    si limx+f(x)x=a et limx+f(x)ax=b alors limx+ (conclure !).

    Etudier l'intersection de Cf avec ses asymptotes (pour ceux qui n'ont pas peur des calculs).


  25. Un amour de fonction.

    Etudier les fonctions définies par u(x)=1x2 et v(x)=2|x|x2, et en particulier leur dérivabilté en 0 et en 1. En déduire l'étude de v+u et de vu. Quelle est l'aire du domaine délimité par les courbes représentatives de ces deux fonctions ?


  26. ☺ ☼ Etudier la fonction f définie par f(x)=x2lnx, et préciser les tangentes aux extrémités de son ensemble de définition.


  27. (complément : fonctions puissances). On pose fa(x)=xaexp(x2), où aR+. Etudier les fonctions fa en précisant selon a la tangente en O. Déterminer une fonction g dont la courbe contient tous les points d'ordonnée maximale de toutes les courbes Ca. Etudier g et représenter sur un même graphique la courbe de g et celles de f1/2 et f9/2.


  28. ☺ Donner les 100 premiers chiffres après la virgule de 2e2001e1789e2001e1789. On pourra utiliser la calculatrice (non testé sur des outils modernes comme la TI-Nspire, peut-être qu'on obtient quasiment directement la réponse).


  29. La tractrice ☼

    Soient les fonctions cosinus hyperbolique, sinus hyperbolique et tangente hyperbolique définies respectivement par cosh(x)=ex+ex2, sinh(x)=exex2 et tanh(x)=sinh(x)cosh(x).

    Calculer cosh2(x)sinh2(x), cosh2(x)+sinh2(x) et cosh(x)×sinh(x).

    Etudier rapidement la fonction cosh, soit C sa courbe représentative.

    Soit M un point de C d'abscisse a>0, m sa projection sur l'axz des abscisses, et P la projection orthogonale de m sur la tangente Δ en M à la courbe C. Ecrire une équation de Δ et déterminer les coordonnées de P en fonction de a. Quelle est la distance mP ?

    On pose f(t)=ln(1+1t2t)1t2. Etudier la fonction f (on admettra que la courbe Γ de f admet une tangente horizontale en 1). Montrer que les coordonnées x,y de P vérifient la relation x=f(y), et en déduire à partir de Γ l'ensemble des points P quand M décrit C. Montrer que mP est tangente à cet ensemble.


  30. ☺ (complément : asymptotes obliques) On considère la fonction (\f\) définie par f(t)=tln(t). Etudier succintement \'f\) et en déduirre l'existence d'un unique réel t0 tel que f(t0)=0. Donner une encadrement de t0 à 102 près, étudier le signe de f(t) suivant les valeurs de t.

    Soit maintenant la fonction g définie par g(x)=xln|11x|+x1. Etudier les limites de g en 1 et à l'infini.

    Montrer que g a une limite finie en 0. Si on prolonge g en prenant cette limite comme valeur de g(0), quelle est la tangente à 0 à la courbre représentative de g ?

    Montrer que la droite d'équation y=x2 est asymptote à la courbe de g.

    Calculer g(x), et montrer que g(x)=f(t) en posant t=xx1. En déduire alors les variations de g ; on appelera x0 la valeur annulant g.

    Exprimer g(x0) en fonction de t0 et en déduire un encadrement de g(x0).


  31. ☠ voire ☠ ☠ (compléments fonctions puissances) Moyenne généralisée

    1. Soient α et β deux réels strictement positifs tels que α+β=1, soit b un réel positif, et soit h la fonction définie par h(x)=αx+βyxαbβ. En étudiant les variations de h, montrer que pour tout a>0 on a : αa+βbaαbβ, l'égalité n'ayant lieu que si a=b.
    2. Si a1,,ap et b1,,bp sont deux suites de réels strictement positifs, montrer l'inégalité

      (H) i=1paiαbiβ(i=1pai)α(i=1pbi)β
      Poser Ai=aii=1pai et Bi=bii=1pbi
    3. c1,,cp étant une suite de réels positifs de somme 1, et d1,,dp une suite strictement croissante de réels positifs, on pose m(x)=(i=1pcidix)1x. Déterminer les limites de la fonction m quand x tend vers 0, +, . La limite en 0 servira de prolongement par continuité et sera notée m(0).
      On pourra passer au logarithmeet factoriser par dp pour la limite en +.

      Et une autre astuce dont je ne me souvient pas XD
    4. On suppose que 0<x<y, montrer en utilisant (H) que m(x)x<m(y)x ; montrer une relation anlaogue en supposant que x et y sont négatifs. En déduire que la fonction m est croissante sur R.
    En comparant m(1), m(O), m(1), et m(2), on obtient les inégalités usuelles sur les moyennes harmonique, arithmétique, géométrique et quadratique.


  32. ☠ sans indications (mais très beau), ☹ avec les indications (et toujours très beau). On peut éventuellement mélanger les deux méthodes.

    Trouver les fonctions f de R+ dans R+ vérifiant f(x.f(y))=y.f(x) pour tout couple (x;y), avec limx+f(x)=0.
    Méthode 1
    • Montrer que xf(x) est invariant par f.
    • Montrer que si a est invariant pas f, alors an et an le sont aussi.
    • Conclure sur les invariants de f, puis sur f
    Méthode 2 (trouvée par un élève, non testée)
    • Montrer que f est une bijection strictement décroissante.
    • En déduire que f est continue ; une aide du professeur est bienvenue.
    • Il y a peut-être une étape "dérivabilité".
    • Trouver un invariant de f, conclure.


  33. Montrer que l'équation 1+x+x2++xn=0 a pour n>2 une solution unique que l'on notera un. Montrer que la suite (un) est décroissante, convergente, et a pour limite 0,5.


  34. Préliminaire : lorsqu'elle existe, on appelle fonction réciproque de la fonction f:IJ la fonction notée f1:IJ telle que f1f=ff1=id, où id est la fonction identité : id(x)=x. On admet l'existence des fonctions réciproques lorsque f est une bijection.On rappelle également (ou admet) que (fg)=g×fg.

    On considère la fonction tangente, définie sur ]π2;π2[, et notée ici φ(x)=tanx. On pose pour tout réel x f(x)=0xdt1+t2.
    1. Calculer l'aire du domaine délimité pr la courbe de φ, et les droites d'équation x=0 et y=1 (c'est bien y et non x !).
    2. Calculer la dérivée de fφ et en déduire f(0), f(1), f(3.
    3. A l'aide d'une intégration par parties, calculer 0πln(1+t2)dt.
    4. On pose g(x)=f(x)x. Montrer que 11+x2g(x)1 et en déduire la limte de g en 0. Déterminer limx+f(x)×lnx


  35. ☹ Fonction moyenne. On rappelle que f(n) désigne la dérivée nième de f. Revoir aussi les notions sur les fonctions composées à l'exercice précédent.

    Pour toute fonction monotone, indéfiniment dérivable sur R+, on définit la fonction moyenne de f sur [0;x] par F(x)=1x0xf(t)dt
    1. Montrer que limx0+F(x)=f(0).
    2. Montrer que F est monotone de même sens de variation que f.
    3. A l'aide d'une intégration par parties sur 0xtn+1f(n+1)(t)dt, montrer que F(n)(x)=1xn+10xtnf(n)(t)dt


  36. Intégrale de Bessel (complément : fonction composées, fonction réciproque cf. ci-dessus ex 34).

    On pose f(t)=12t2+2t+1 définie sur R, F est une primitive de f, et g(x)=G(1+tanx2).
    1. Calculer g(x), en déduire g(x) puis 01f(t)dt
    On pose alors Ip,q=01tp(1t)qdt et un=In,n.
    1. Montrer à l'aide d'un encadrement que limn+un=0.
    2. A l'aide d'une intégration par parties, déterminer une relation entre Ip+1,q+1 et Ip+2,q.
    3. En déduire que un=(n!)2(2n+1)2. Comparer avec la valeur de un obtenue directement après développement de (1t)n par la formule du binôme (on ne cherchera pas à réduire la somme obtenue).
    4. Montrer que 01(2t(1t))n+12t22t+1dt tend vers 0 quand n tend vers +. En intégrant f(t)1k=1ntk(1t)k, déterminer limn+k=1n2kuk


  37. ☼ Intégrale de Wallis et première formule de Stirling (de première espèce).

    Soit In=0π2cosnxdx (intégrale de Wallis).
    1. Calculer I0 et I1. Montrer que la suite In est décroissante.
    2. Par une intégration par parties, montrer que n.In=(n1).In2.
    3. En déduire:
      1. que limn+I2p+1I2p=1.
      2. que I2n=π2×(2n)!(2nn!)2 et I2n+1=(2nn!)2(2n+1)!
    4. On pose un=n!ennnn pour n1.Le but de cette partie est de montrer que la suite (un) est convergente.
      1. Résultats préliminaires
        1. Montrer que x[0;12] 23x312ln(1x1+x)0.
        2. Montrer que nN, 112+122++1n221n) (d'où bien sûr 112+122++1n22).
        3. Montrer que 223(2n+1)216n2.
      2. Soit vn=ln(un).
        1. Montrer que un+1un=e(nn+1)n+12. En déduire que vn+1vn=12.ln(112n+11+12n+1)
        2. Montrer que 16n2vn+1vn0. Conclusion ?
        3. Montrer que vn112+122++1(n1)2.
        4. En déduire que les suites (vn) et (un) convergent. On appelera L la limite de (un).
      3. Déterminer la limite L de la suite (un) en comparant (un)2u2n et I2n+1I2n. En déuire un équivalent de la factorielle en +, c'est-à-dire une fonction f telle que limn+n!f(n)=1. On écrira alors n!f(n) (formule de Stirling).


  38. ☹ ☼ Somme des carrés des inverses des entiers (calcul de ζ(2) , bac 1981)
    Soit (un)nN la suite telle que un=p=1n1p2.
    1. Démontrer que pour tout entier nN : 11n1n1t2dtun1n2.
      Montrer que la suite (un) est convergente, encadrer sa limite.
    2. On note In=0πt2cos(nt)dt et Kn=0πt2sin(nt)dt, où nN.
      A l'aide d'une intégration par parties, calculer In et Kn en fonction de n.
      En déduire que 1n2=0π(t22πt)cos(nt)dt.
    3. Soit n un entier naturel non nul, et t un réel de l'intervalle (0:π).
      Calculer en fonction de n et t la somme p=1neipt.
      En déduire que :
      • Si t]O;π] alors p=1ncos(pt)=sin[(n+12)t]sint212
      • Si t=0 alors p=1ncos(pt)=n
    4. Calculer l'intégrale 0π(t22πt)dt.
    5. Montrer que la fonction g:ttt22π2sint2, définie sur ]0;π] peut être prolongée par continuité en 0.
      Montrer que la fonction g ainsi définie sur [0;π] est positive et majorée sur [0;π].
      Démontrer que la fonction g est dérivable sur ]0;π] et que sa dérivée est continue sur ]0;π].
    6. Justifiez que pour tout nN:π26un=0πg(t)sin[(n+12)t]dt.
    7. Soit α un nombre réel strictement compris entre 0 et π. Soit M un majorant de g sur[0;π].
      Démontrez que |0πg(t)sin[(n+12)t]dt|2M2n+1 (variante si vous trouvez cela plus facile M×α).
      Démontrez que 0πg(t)sin[(n+12)t]dt=2g(α)cos[(n+12)α]2n+1+22n+10πg(t)cos[(n+12)t]dt .
    8. Utilisez la question 5 pour montrer qu'il existe un nombre réel A strictement positif tel que pour tout nN : |0πg(t)cos[(n+12)t]dt|A(πα).
    9. Déduire des résultats précédents que |unπ26|4M+2Aπ2n+1 (avec la variante du 7 on trouve Mn+2Mn+1+2Aπ2n+1).
      Conclure sur la limite de la suite (un)nN.


  39. ☠ Montrer que si a, b, c sont dans [0;1] alors a1+bc+b1+ca+c1+ab2.


  40. ☠ Bac 1978 (dérivée des fonctions composées, intégration par parties, très bel exercice)
    Soit f(x)=0π4exp(xcos2t)dt, définie sur R.
    1. Comparer f(x) et exp(x), et déterminer la limite de f en +.
    2. On définit la fonction φ par f(x)=f(a)+(xa)[φ(x)0π4exp(acos2t)cos2tdt].
      Montrer que limxaφ(x)=0. En déduire que f est dérivable, et calculer f(x). On pourra utiliser cette définition pour f dérivable en a appartenant à un intervalle I : pour tout h tel que a+hI, on peut écrire f(a+h)=f(a)+hf(a)+hε(h), où limh0ε(h)=0 ; f(a) est appelé nombre dérivé de f en a.
    3. Soit P une primitive de la fonction xex2 définie sur R, et soit Q la fonction définie par Q(t)=P(xtan(t)).
      Montrer que Q est dérivable et que 0xet2dt=0π4exp(x2tan2t)cos2tdt.
    4. Soit g(x)=f(x2). Montrer que g(x)=2ex20xet2dt.
    5. On pose h(x)=g(x)+(0xet2dt)2. Calculer h(x) et en déduire limx+0xet2dt.



  41. a est un paramètre réel, ga(x)=a+expx22x+0xexp(t22)dt   et   fa(x)=exp(x22)a+0xexp(t22)dt.
    On admet que limx+0xet2dt=π2 (ceci est prouvé dans l'exercice précédent, faire aussi le lien avec le cours sur la loi normale).
    1. Comparer ga(x) et ga(x), fa(x) et fa(x),
    2. Etudier les variations de ga et de fa pour a<0, en séparant pour fa les cas a<π2 et a>π2.


  42. ☺ 🖥 Tour de puissances
    Une précision préliminaire: xxx=x(xx), et non pas xxx=(xx)x=xx2.
    Ce qui donne 2222=224=216=65536 et non 22×2×2=28=256.
    Rappel: ab=exp(blna)=eblna et (ax)=lna exlna=lnaax.

    Commencer par faire l'exercice 20 de la page Méthodes et exercices simples
    On s'interesse à la suite (an) définie par a0=1 et an+1=ban, où b est un réel strictement positif. Si la limite L de cette suite existe, alors on a bbbb=L.
    1. Ecrire un programme Python qui donne les valeurs de cette suite pour b=1,45. Quel phénomène intéressant observe-t-on ?
    2. Soit f la fonction définie sur R par f(x)=bx. On a alors an+1=f(an). A l'aide de la représentation "en toile d'araignée" des termes de la suite, explorer le comportement de cette suite. Ce graphique fonctionne comme Géogébra.Vous pouvez changer la valeur minimale de b notamment.
      Conjecturer le comportement de la suite suivant les valeurs de b.
    3. On suppose dans cette question que 1b.
      1. Quel est le sens de variation de la suite (an) ?
      2. On admet que pour une certaine valeur limite Dsup, la suite est majorée. Conclure.
      3. Intuitivement, les schémas ci-dessous semblent montrer que la valeurDsup est la valeur de b pour laquelle la courbe de f est tangente à la droite d'équation y=x.

        On montrera ceci dans la question 3e, et également avec un théorème plus puissant à la question 4.
        Montrer que la courbe de f est tangente à la droite d'équation y=x si et seulement si {bx=xlnbbx=1.
        En déduire la valeur de b, ainsi que l'abscisse x du point où il y a tangence.
        lnbbx=1lnbx=1b=e1x.
        Puis bx=x x=(e1x)x=e1xx=e d'où b=e1e.
      4. Montrer que pour 1be1e et 1xe, alors 1f(x)e.
      5. Montrer que dans ce cas la suite (an) est majorée, et conlure.
    4. Dans cette partie, on va s'interresser à la borne inférieure Dinf telle que la suite (an) converge.
      On admet pour cela le théorème suivant (théorème du point fixe en version plus avancée que celui de terminale, écrit pour être appliqué facilement dans la quesiton qui suit).
      Théorème : Soit f une fonction définie, dérivable et à dérivée continue sur l'intervalle [a,b] telle que:
      • aybf(a)yf(b) (on dit que la fonction est contractante)
      • Sur l'intervalle [a,b], max|f(y)|<1.
      Alors :
      • Il existe un unique point α dans [a,b] tel que f(α)=α.
      • Pour tout y0 dans [a,b], la suite définie par y0 et yn+1=f(yn) converge vers α.

      On s'interesse maintenant à la fonction f définie par f(y)=xy.
      1. Pourquoi a-t-on forcément x>0 ?
      2. Montrer que f(x)=lny lorsque la suite définie par y0 et yn+1=f(yn) converge vers /(y/).
      3. Résoudre |f(x)|<1. En déduire les valeurs de x pour lesquelles la suite an converge.
      f(x)=lnxxy=(lnx)y=ylnx.=ln(xy)=lny
      |f(x)|<1 1<lny<11e<y<e
      Or y=xyx=y1y d'où ee<x<e1e).
    5. Qu'en conclue-t-on sur l'ensemble de définition et l'ensemble image de la fonction g définie par g(x)=xxxx ?
      Penser notamment aux bornes : ouvertes ou fermées ?
      Les calculs précédents montrent que ee<x<e1e et 1e<f(x)<e).
      La première question montre que la fonction est définie pour x=e1e, et que f(e1e)=e.
      La résolution de xxxx=1e, comme dans l'exercice 20 "facile" donne x=ee. Ceci n'est pas très rigoureux, on n'a pas prouvé que la suite converge dans ce cas.
      Les intervalles de définition et image sont donc fermés.