Exercices d'analyse pour la préparation aux études supérieures
Présentation
Une collection d'exercices provenant pour les deux tiers, d'un recueil de Jean-Marc
Dewasme, anciennement professeur au lycée Joffre de Montpellier. Quelques uns
proviennent d'un vieux livre de TS de M. Terracher, en tant que tels ils sont
protégés mais c'est pêcher que de les laisser se perdre ; d'autres sont de
mon cru, certaines rédactions viennent de M. Amposta (lycee.mathematiques.free.fr),
et enfin d'autres sont de provenance inconnue, glanés au fil du temps.
« Cette compilation contient des exercices que j'ai pratiquement tous donnés à mes élèves, pas toujours à une classe entière bien sûr, mais quelquefois à un petit groupe d'élèves motivés. Ce qui prouve qu'il y a eu à Joffre (et qu'il y a encore) d'excellents élèves. C'est à eux que je dédie ce recueil.
Les lecteurs voudront bien excuser et corriger les erreurs, coquilles et maladresses, et je les encourage à améliorer certains passages en considérant cet exemplaire comme une source d'idées et non comme un travail accompli.
Jean-Marc
Dewasme »
J'ai également donné certains de ces exercices, sous une forme parfois différente -notamment
avant de connaître ce recueil- à des élèves du lycée Pierre Poivre de la
Réunion, et aussi à des élèves du lycée Jean Jaurès
de Saint-Clément-de-Rivière. Ceci en classe entière,
en devoir à la maison, ou bien à certains élèves uniquement. Et je
confirme : il y a toujours d'excellents élèves, partout. Il suffit de leur
donner de quoi se nourrir intellectuellement pour qu'ils se révèlent, ce que les programmes ont eu tendance à oublier pendant plusieurs années.
Frédéric Mandon
Les indications de difficulté (☹ , ☹☹ et enfin ☠) ne sont pas forcément de moi, je n'ai pas forcément le même ressenti, à chacun ses goûts et ses couleurs !
Certains exercices, sans être corrigés, bénéficient d'indices/de pistes de réflexion. La difficulté devient alors bien plus raisonnable.
Par ailleurs, certains de ces exercices me paraissent facilespas trop difficiles envisageables, je les ai signalés avec un ☺. N'ayant pas fait ou refait depuis longtemps une
partie de ces exercices, et jamais pour quelques-uns, il est fort possible que
j'en ai oublié.
Les exercices me paraissant particulièrement enrichissants sont signalés par ☼. J'ai essayé de mettre dans cette
catégorie des exercices en majorité ☺.
Les exercices présentant un intérêt certain en programmation sont signalés par 💻. Pour certains, on peut trouver la solution avec un programme, pour d'autres il s'agit plus d'explorer et de conjecturer. Quelques programmes, notamment en arithmétique, demandent des connaissances sur les types ; les connaissances acquises en programmation lors des cours de mathématiques risquent d'être un peu justes. les exercices notés 💻 🖥 sont enrichissants en tant qu'exercices de programmation, notamment pour les élèves de NSI en début de classe de première.
Certains de ces exercices, surtout en analyse, nécessitent des compléments de cours. Ces
compléments sont faciles à comprendre et à trouver sur le web, et si vous êtes élève votre professeur peut vous les expliquer rapidement. Quand j'y ai pensé, j'ai signalé sur les exercices la nature de ces compléments. Il s'agit
principalement de :
Suites adjacentes.
Asymptotes obliques.
Composition des fonctions et dérivée d'une fonction composée.
Intégration par parties.
Bijections, continuité de manière un peu plus fine que dans le programme officiel.
Fonctions puissances, croissances comparées.
Notions sur les factorielles.
Arrangements et combinaisons.
Bases et systèmes de numération (en arithmétique) Ceux qui font NSI/ISN en connaissent les principes, du moins en base 2 et 16.
Par ailleurs, les outils informatiques peuvent donner facilement la solution de
certains exercices (et cela est très enrichissant à programmer). Si vous
trouvez la solution par ce moyen, n'oubliez pas de prouver vos conjectures par
la suite !
Les exercices
Le peloton du tour de France fait 100 mètres de long et roule à vitesse constante v. Une moto roulant à vitesse constante V part du dernier coureur, remonte jusqu'au premier, fait demi tour instantanément et repart tout aussi instantanément à la même vitesse constante V, puis croise le dernier coureur du peloton au moment ou celui-ci a parcouru 100 mètres depuis que la moto l'a quitté. Quelle distance a parcouru la moto entre les deux moments où elle côtoie le dernier coureur ?
Le train sifflera trois fois.
Sur une voie ferrée rectiligne, un train traverse un passage à niveau avant d'entrer en gare, et donne un coup de sifflet du passage à niveau jusqu'au-delà de la gare. Monsieur Machin, Cheminot, a remarqué que la durée du coup de sifflet lui paraissait plus courte de 1,5 secondes quand il travaillait au-delà de la gare que quand il était avant le passage à niveau où, par contre, elle lui paraissait plus courte d'une seconde que quand il était à la gare. Quelle est la distance entre la gare et la passage à niveau ? Quelle est la distance parcourue par le train pendant son coup de sifflet ?
☹ 🖥 💻 (trigo)
Une caisse cubique de 70 centimètre de côté est posée contre un mur. On appuie contre le mur une échelle de 2,5 mètres qui est contact avec le mur. A quelle hauteur maximale l'échelle peut-elle s'appuyer sur le mur ?
☹ ☹ (trigo) Le rectangle de côtés 5 et 1 doit, en glissant en A et B, passer entre les deux demi-droites parallèles d'origine 0 et C. On donne \((\overrightarrow{OB} \, ; \, \overrightarrow{OA}) = \frac{3\pi}{4}\). Quelle doit être la distance minimale \(OC\) ?
☺ Un escalier roulant monte à vitesse constante. Léon monte 20 marches et arrive en 15 secondes ; Suzy en montant 22 marches ne met que 12 secondes, et Gaston qui descend met 18 secondes. Combien a-t-il descendu de marches ?
☠ L'escalier du pharaon.
Un escalier comporte 9 marches de hauteurs respectives en partant du bas 1 - 1,5 - 0,7 - 1 - 1,2 - 1 - 0,8 - 1,2 - 1 et de profondeurs 3 - 4 - 1 - 5 - 3 - 4 - 4 - 3 (la dernière est le palier). Le pharaon décide de le transformer en un escalier de 4 marches en minimisant le volume à ajouter. Donner les dimensions des nouvelles marches.
☼ Le Petit Chaperon Rouge part de chez elle à 8h00, arrive chez sa grand-mère dans l'après-midi (sans rencontrer personne). Le lendemain, après un bon civet de loup, elle repart de chez sa grand-mère à 8h00, et arrive chez elle tranquillement, en empruntant le même chemin en sens inverse. Montrer qu'il existe un endroit du chemin par lequel elle est passée exactement à la même heure les deux jours.
☹☹ et ☼ (pour l'apprentissage du principe des tiroirs de Dirichlet)
On choisit un nombre réel \(x\) et un entier \(n\). Montrer que parmi les nombres \(x, 2x, 3x, \dots, (n - 1)x\) il y en a au moins un qui est à moins de \(\frac{1}{n}\)d'un entier ( principe des tiroirs de Dirichlet : si on a \(n + 1\) chaussettes et \(n\) tiroirs, alors au moins un tiroir comporte deux chaussettes).
☺ ☼ Flocon de Von Koch.
La courbe \(K_0\) est un triangle équilatéral de côté 1 et d'aire \(s\). On définit par récurrence une famille de courbes \(K_n\) de la manière suivante : chaque courbe est obtenue à partir de la précédente en remplaçant chaque segment par une ligne brisée, en construisant un triangle équilatéral sur le tiers central du segment. Déterminer le périmètre et l'aire de \(K_n\), ainsi que leur limite quand \(n\) tend vers \(+\infty\). Conclusion ?
☺ ☼ Nombre d'or 1.
Montrer que \(\displaystyle 1 + \frac{1}{\displaystyle 1 + \frac{1}{\displaystyle 1 + \frac{1}{\displaystyle 1 + \frac{1}{\dots}}}} = \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{\dots}}}}}\)
On pourra montrer que \(v_{n+ 1} - \varphi = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2v_n} (\varphi - v_n)\), d'où \(|v_{n + 1} - \varphi| \leq |v_{n} - \varphi|\), où \(v_0 = 1\) et \(v_{n + 1} = 1 + \frac{1}{v_n}\) et \( \varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \).
☺ 🖥 Fibonacci 1.
On considère la suite de Fibonacci définie par \(u_0 = 0\), \(u_1 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}\), et \(u_{n + 2} = u_{n + 1} + u_n\).
Conjecturer la limite de la suite en calculant les 100 premiers termes. Il peut être intéressant d'utiliser à la fois Python, tableur, et calculatrice.
Soient \(\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\) et \(\psi = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}\). Vérifier que \(\varphi\) et \(\psi\) sont les solutions de l'équation \(x^2 - x - 1 = 0\). En déduire que l'on a \(u_n = \psi^n\).
Conclure sur la validité des conjectures.
Fibonacci 2
De combien de façons \(f_n\) peut-on remplir un tonneau de \(n\) litres avec un pot de 1 litre et 1 pot de 2 litres ? Le sens du "nombre de façons" fait intervenir l'ordre ; ainsi il y a trois façons de remplir un tonneau de 3 litres : 1-2, 1-1-1, 2-1. On prendra \(f_0 = 1\) en pensant qu'il n'y a qu'une seule façon de remplir un tonneau déjà plein, c'est de ne rien faire. Justifier que \(f_{n+2} = f_n + f_{n+1}\)
De telles suites, définies par leurs 2 premiers termes et cette relation de récurrence s'appellent suites de Fibonacci, du nom de celui qui les a caractérisé par le nombre d'or (vers 1200).
Quelle relation de récurrence vérifie la suite \((q_n)\) définie par \(q_n = \frac{f_{n+1}{f_n}\).En déduire la convergence de la suite \((q_n)\) (on peut faire l'exercice Nombre d'Or 1 !)
Montrer que les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) définies respectivement par \(v_n = \varphi^n\) et \(u_n = \psi^n\) sont des suites de Fibonacci. En déduire que toute suite s'écrivant \(u_n = a\varphi^n + b\psi^n\) est une suite de Fibonacci.
Montrer maintenant la réciproque : toute suite de Fibonacci s'écrit sous la forme \(u_n = a\varphi^n + b\psi^n\). Pour cela on déterminera \(a\) et \(b\) en fonction de \(u_0\) et \(v_0\). Donner les valeurs de \(a\) et \(b\) dans le cas précis de la suite étudiée au 1.
Nombre d'or 3
Soit \(u_n\) la suite définie par \(u_0 = 2\) et \(u_{n+1} = \frac{u_n^2 + 1}{2u_n - 1}\).
Montrer que la suite \(u_n\) converge vers le nombre d'or \( \varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \).
Montrer que \(u_{n+1} - \varphi \leq \frac{1}{2}(u_n - \varphi)^2\), en déduire que \(u_8\) est une approximation de \(\varphi\) à au moins \(10^{-153}\).
Nombre d'Or 4
On définit la suite \((z_n)_{n \in \mathbb{N}}\) par \(z_0 = 1 + i\) et \(z_{n + 1} = 1 + \frac{1}{z_n}\). Partie A : étude directe (et incomplète)
Conjecturer la limite de la suite \((z_n)_{n \in \mathbb{N}}\). On pourra utiliser des outils de calcul. Remarque : Pyhton accepte les complexes sous la forme z = a + bj ou z = complex(a,b), avec j à la place de \(i\), et sans signe de multiplication entre b et j. L'instruction phase(z) permet de calculer une mesure de l'argument. Il faut préciser from cmath import * en début de programme.
☹ Soit \(\displaystyle u_n = \sum_{k=1}^{k=n}\frac{1}{\sqrt{k}}\) et \(v_n = u_n -\sqrt{n}\). Montrer que \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n + 1}}\leq 2\sqrt{n+ 1} - 2\sqrt{n} \leq \frac{1}{\sqrt{n}}\).
En déduire par itération que la suite \(v_n\) diverge, et que la suite \(u_n\) est décroissante et convergente.
Série harmonique et Constante d'Euler-Mascheroni (voir aussi exercice 16 sur le même thème, du côté arithmétique).
On considère la série harmonique \(\displaystyle u_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}\). En regroupant des termes successifs, montrer que \(\displaystyle u_{2^n} \geq 1 + \frac{1}{2}n\). En déduire que la série diverge vers \(+\infty\).
On considère la série harmonique alternée \(u_n = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{(-1)^n}{n+1}\).
En déduire la limite de la série harmonique alternée.
On vient de voir au 1 que la série harmonique diverge. On sait également que la suite \((\ln n)_{n \in \mathbb N}\) diverge vers \(+\infty\).Comparons les deux.
Montrer que pour tout entier \(n > 1\), \(\displaystyle \frac{1}{n+1} \leq \ln \left( \frac{n+1}{n} \right) \leq \frac{1}{n}\).
On pose \(\displaystyle u_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n - 1} -\ln n\) et \(\displaystyle v_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} -\ln n\). Montrer que la suite \(u_n\) est croissante, \(v_n\) est décroissante, et que ces deux suites ont la même limite \(\gamma\) appartenant à \(]0 ; 1[\). Remarque : on en conclut que les deux suites (série harmonique et \((\ln n)_{n \in \mathbb N}\)) ont la même "vitesse de convergence".
☹☹
On pose \(u_1 = 1\) et \(u_{n + 1} = 2u_n +\sqrt{3u_n^2 + 1}\). Montrer que \(u_n\) est entier pour tout \(n \in \mathbb N\).
☹☹ \(a\) est un entier impair. On pose \(u_0 = b\) entier positif, et si \(u_n\) est pair, alors \(u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n\), alors que si \(u_n\) est impair, \(u_{n+1} = u_n + a\). Montrer qu'il existe \(p\) tel que \(u_p \leq a\), et que \(u_n\) est périodique à partir du rang \(p\).
Algorithme de Babylone.
On définit la suite \((u_n)_{n \in \mathbb N}\) par \(u_0 = 2\) et \(\displaystyle u_{n + 1} = \frac{1}{2}\left( u_n + \frac{2}{u_n} \right)\).
Montrer que la suite \((u_n)_{n \in \mathbb N}\)) vérifie \(\sqrt{2} \leq u_{n+1} \leq u_n \leq 2\). Conclure sur la convergence de la suite, puis détermniner le limiite \(L\) de \((u_n)_{n \in \mathbb N}\).
D'après la calculatrice, et avec un peu d'intuition, à partir de quel rang a-t-on une valeur approchée de \(L\) à \(3.10^{-4}\) près ? A \(2.10^{-12}\) près ? A \(10^{-48}\) près ?
Calculer \(\displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} \frac{u_{n+1} - L}{(u_n - l)^2}\). En déduire que \(\left|u_{n+1} - L \right| \approx \frac{1}{2\sqrt{2}}\left|u_{n} - L\right|\). Si \(u_n\) est une valeur approché de \(L\) à \(10^{-k}\), que peut-on dire sur la précision de \(u_{n+1}\) en tant que valeur approchée de \(L\) ?
Simplifier
Etudier rapidement la fonction \(\displaystyle f(x) = \frac{x^3 - 9x}{x^2 - 1}\). On note \(D\) l'ensemble de définition de \(f\) et \(I = ]-1 ; 1[\). On considère \(a \in D\) et l'équation \(f(x) = f(a)\). Montrer que cette équation a trois solutions, dont une et une seule dans \(D\). Déterminer algébriquement les trois solutions. Représenter graphiquement la fonction \(g\) qui à \(a\) associe celle des solutions qui est dans \(I\).
Le paravent.
Un paravent est constitué de deux parties \(MA\) et \(MB\) articulées en \(O\), de 1 mètre chacune. On place ce paravent dans le coin (à angle droit) \(BOA\) d'une pièce, \(M\) étant sur la bissectrice. On cherche à obtenir une surface \(OAMB\) maximale.
Etudier ce problème :
En prenant comme inconnue l'abscisse \(x\) de \(M\) dans un repère \((O;\overrightarrow i ; \overrightarrow j)\);
En prenant comme inconnue l'angle \(\theta = (\overrightarrow{AM} ; \overrightarrow{OB})\).
☹ ☼ (compléments : asymptotes obliques)
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par \(\displaystyle f:x \rightarrow \frac{x}{4} + \sqrt{\left|x^2 - 4x \right|}\). On note \(C_f\) sa courbe représentative.
Etudier \(f\) en séparant les cas suivant les valeurs de \(x\) ; ne pas oublier la dérivabilité en 0 et en 4 (on montrera l'existence de demi-tangentes verticales).
Pour trouver les équations des asymptotes obliques en \(+\infty\) et en \(-\infty\) on pourra utiliser la méthode suivante :
si \(\displaystyle \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = a\) et \(\displaystyle \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) - ax = b\) alors \(\displaystyle \lim\limits_{x \to +\infty} \cdots\) (conclure !).
Etudier l'intersection de \(C_f\) avec ses asymptotes (pour ceux qui n'ont pas peur des calculs).
Un amour de fonction.
Etudier les fonctions définies par \(u\left(x\right) = \sqrt{1-x^2}\) et \(v\left(x\right) = \sqrt{2\left|x\right| - x^2}\), et en particulier leur dérivabilté en 0 et en 1. En déduire l'étude de \(v + u\) et de \(v - u\). Quelle est l'aire du domaine délimité par les courbes représentatives de ces deux fonctions ?
☺ ☼ Etudier la fonction \(f\) définie par \(f\left(x\right) = x^2\sqrt{-\ln x}\), et préciser les tangentes aux extrémités de son ensemble de définition.
(complément : fonctions puissances). On pose \(f_a\left(x\right) = x^a \exp\left(-x^2\right)\), où \(a \in \mathbb R^+\). Etudier les fonctions \(f_a\) en précisant selon \(a\) la tangente en O. Déterminer une fonction \(g\) dont la courbe contient tous les points d'ordonnée maximale de toutes les courbes \(C_a\). Etudier \(g\) et représenter sur un même graphique la courbe de \(g\) et celles de \(f_{1/2}\) et \(f_{9/2}\).
☺ Donner les 100 premiers chiffres après la virgule de \(\displaystyle \frac{2\mathrm{e}^{2001} - \mathrm{e}^{1789}}{\mathrm{e}^{2001} - \mathrm{e}^{1789}}\). On pourra utiliser la calculatrice (non testé sur des outils modernes comme la TI-Nspire, peut-être qu'on obtient quasiment directement la réponse).
La tractrice ☼
Soient les fonctions cosinus hyperbolique, sinus hyperbolique et tangente hyperbolique définies respectivement par \(\displaystyle \cosh\left(x\right) =\frac{\mathrm{e}^x + \mathrm{e}^-x}{2}\), \(\displaystyle \sinh\left(x\right) =\frac{\mathrm{e}^x - \mathrm{e}^-x}{2}\) et \(\displaystyle \tanh\left(x\right) =\frac{\sinh\left(x\right)}{\cosh\left(x\right)}\).
Calculer \(\cosh^2\left(x\right) - \sinh^2\left(x\right)\), \(\cosh^2\left(x\right) + \sinh^2\left(x\right)\) et \(\cosh\left(x\right) \times \sinh\left(x\right)\).
Etudier rapidement la fonction \(\cosh\), soit \(C\) sa courbe représentative.
Soit \(M\) un point de \(C\) d'abscisse \(a > 0\), \(m\) sa projection sur l'axz des abscisses, et \(P\) la projection orthogonale de \(m\) sur la tangente \(\Delta\) en \(M\) à la courbe \(C\). Ecrire une équation de \(\Delta\) et déterminer les coordonnées de \(P\) en fonction de \(a\). Quelle est la distance \(mP\) ?
On pose \(\displaystyle f\left(t\right) = \ln\left(\frac{1 + \sqrt{1 - t^2}}{t}\right) - \sqrt{1 - t^2}\). Etudier la fonction \(f\) (on admettra que la courbe \(\Gamma\) de \(f\) admet une tangente horizontale en 1). Montrer que les coordonnées \(x , y\) de \(P\) vérifient la relation \(x = f(y)\), et en déduire à partir de \(\Gamma\) l'ensemble des points \(P\) quand \(M\) décrit \(C\). Montrer que \(mP\) est tangente à cet ensemble.
☺ (complément : asymptotes obliques) On considère la fonction (\f\) définie par \(f(t) = t - \ln\left(t\right)\). Etudier succintement \'f\) et en déduirre l'existence d'un unique réel \(t_0\) tel que \(f(t_0) = 0\). Donner une encadrement de \(t_0\) à \(10^{-2}\) près, étudier le signe de \(f(t)\) suivant les valeurs de \(t\).
Soit maintenant la fonction \(g\) définie par \(\displaystyle g(x) = x\ln\left|1-\frac{1}{x}\right| + x - 1\). Etudier les limites de \(g\) en 1 et à l'infini.
Montrer que \(g\) a une limite finie en 0. Si on prolonge \(g\) en prenant cette limite comme valeur de \(g(0)\), quelle est la tangente à 0 à la courbre représentative de \(g\) ?
Montrer que la droite d'équation \(y = x - 2\) est asymptote à la courbe de \(g\).
Calculer \(g'(x)\), et montrer que \(g'(x) = f(t)\) en posant \(\displaystyle t = \frac{x}{x - 1}\). En déduire alors les variations de \(g\) ; on appelera \(x_0\) la valeur annulant \(g'\).
Exprimer \(g(x_0)\) en fonction de \(t_0\) et en déduire un encadrement de \(g(x_0)\).
Soient \(\alpha\) et \(\beta\) deux réels strictement positifs tels que \(\alpha + \beta = 1\), soit \(b\) un réel positif, et soit \(h\) la fonction définie par \(h(x) = \alpha x + \beta y -x^\alpha b^\beta\). En étudiant les variations de \(h\), montrer que pour tout \(a > 0\) on a : \(\alpha a + \beta b \geq a^\alpha b^\beta\), l'égalité n'ayant lieu que si \(a = b\).
Si \(a_1 , \dots , a_p\) et \(b_1 , \dots , b_p\) sont deux suites de réels strictement positifs, montrer l'inégalité
(H) \(\displaystyle \sum_{i = 1}^p a_i^\alpha b_i^\beta \leq \left( \sum_{i = 1}^p a_i \right)^\alpha \left( \sum_{i = 1}^p b_i \right)^\beta\)
\(c_1 , \dots , c_p\) étant une suite de réels positifs de somme 1, et \(d_1 , \dots , d_p\) une suite strictement croissante de réels positifs, on pose \(\displaystyle m(x) = \left( \sum_{i = 1}^p c_i d_i^x\right)^{\frac{1}{x}}\). Déterminer les limites de la fonction \(m\) quand \(x\) tend vers 0, \(+\infty\), \(-\infty\). La limite en 0 servira de prolongement par continuité et sera notée \(m(0)\).
On pourra passer au logarithmeet factoriser par \(d_p\) pour la limite en \(+\infty\).
Et une autre astuce dont je ne me souvient pas XD
On suppose que \(0 \lt x \lt y\), montrer en utilisant (H) que \(m(x)^x \lt m(y)^x\) ; montrer une relation anlaogue en supposant que \(x\) et \(y\) sont négatifs. En déduire que la fonction \(m\) est croissante sur \(\mathbb R\).
En comparant \(m(-1)\), \(m(O)\), \(m(1)\), et \(m(2)\), on obtient les inégalités usuelles sur les moyennes harmonique, arithmétique, géométrique et quadratique.
☠ sans indications (mais très beau), ☹ avec les indications (et toujours très beau). On peut éventuellement mélanger les deux méthodes.
Trouver les fonctions \(f\) de \(\mathbb R_*^+\) dans \(\mathbb R_*^+\) vérifiant \(f\left(x.f\left(y\right)\right) = y.f\left(x\right)\) pour tout couple \((x ; y)\), avec \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 0\).
Méthode 1
Montrer que \(xf(x)\) est invariant par \(f\).
Montrer que si \(a\) est invariant pas \(f\), alors \(a^n\) et \(a^{-n}\) le sont aussi.
Conclure sur les invariants de \(f\), puis sur \(f\)
Méthode 2 (trouvée par un élève, non testée)
Montrer que \(f\) est une bijection strictement décroissante.
En déduire que \(f\) est continue ; une aide du professeur est bienvenue.
Il y a peut-être une étape "dérivabilité".
Trouver un invariant de \(f\), conclure.
Montrer que l'équation \(-1 + x + x^2 + \cdots + x^n = 0\) a pour \(n \gt 2\) une solution unique que l'on notera \(u_n\). Montrer que la suite \(\left(u_n\right)\) est décroissante, convergente, et a pour limite 0,5.
Préliminaire : lorsqu'elle existe, on appelle fonction réciproque de la fonction \(f : I \rightarrow J\) la fonction notée \(f^{-1} : I \rightarrow J\) telle que \(f^{-1} \circ f = f \circ f^{-1} = \mathrm{id}\), où \(\mathrm{id}\) est la fonction identité : \(\mathrm{id}(x) = x\). On admet l'existence des fonctions réciproques lorsque \(f\) est une bijection.On rappelle également (ou admet) que \(\left(f \circ g\right)' = g' \times f' \circ g\).
On considère la fonction tangente, définie sur \(\displaystyle \left] -\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2} \right[\), et notée ici \(\varphi(x) = \tan x\). On pose pour tout réel \(x\) \(\displaystyle f(x) = \int_0^x \frac{\mathrm dt}{1 + t^2}\).
Calculer l'aire du domaine délimité pr la courbe de \(\varphi\), et les droites d'équation \(x = 0\) et \(y = 1\) (c'est bien \(y\) et non \(x\) !).
Calculer la dérivée de \(f\circ\varphi\) et en déduire \(f(0)\), \(f(1)\), \(f(\sqrt{3}\).
A l'aide d'une intégration par parties, calculer \(\displaystyle \int_0^{\pi} \ln\left(1+t^2\right) \, \mathrm dt\).
On pose \(\displaystyle g(x) = \frac{f(x)}{x}\). Montrer que \(\displaystyle \frac{1}{1 + x^2} \leq g(x) \leq 1\) et en déduire la limte de \(g\) en 0. Déterminer \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) \times \ln x\)
☹ Fonction moyenne. On rappelle que \(f^{(n)}\) désigne la dérivée \(n^{\mathrm{-ième}}\) de \(f\). Revoir aussi les notions sur les fonctions composées à l'exercice précédent.
Pour toute fonction monotone, indéfiniment dérivable sur \(\mathbb R^+\), on définit la fonction moyenne de \(f\) sur \([0 ; x]\) par \(\displaystyle F(x) = \frac{1}{x}\int_0^x f(t) \, \mathrm dt\)
Montrer que \(\lim\limits_{x \to 0^+} F(x) = f(0)\).
Montrer que \(F\) est monotone de même sens de variation que \(f\).
A l'aide d'une intégration par parties sur \(\displaystyle \int_0^x t^{n + 1} f^{(n + 1)}(t) \, \mathrm dt\), montrer que \(\displaystyle F^{(n)}(x) = \frac{1}{x^{n + 1}}\int_0^x t^n f^{(n)}(t) \, \mathrm dt\)
Intégrale de Bessel (complément : fonction composées, fonction réciproque cf. ci-dessus ex 34).
On pose \(\displaystyle f(t) = \frac{1}{2t^2 + 2t + 1}\) définie sur \(\mathbb R\), \(F\) est une primitive de \(f\), et \(\displaystyle g(x) = G\left(\frac{1 + \tan x}{2}\right)\).
Calculer \(g'(x)\), en déduire \(g(x)\) puis \(\displaystyle \int_0^1 f(t) \, \mathrm dt\)
On pose alors \(\displaystyle I_{p,q} = \int_0^1 t^p(1_t)^q \, \mathrm dt\) et \(u_n = I_{n,n}\).
Montrer à l'aide d'un encadrement que \(\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 0\).
A l'aide d'une intégration par parties, déterminer une relation entre \(I_{p + 1,q + 1}\) et \(I_{p + 2,q}\).
En déduire que \(\displaystyle u_n = \frac{\left(n!\right)^2}{(2n + 1)^2}\). Comparer avec la valeur de \(u_n\) obtenue directement après développement de \((1 - t)^n\) par la formule du binôme (on ne cherchera pas à réduire la somme obtenue).
Montrer que \(\displaystyle \int_0^1 \frac{\left(2t(1-t)\right)^{n+1}}{2t^2 - 2t + 1} \, \mathrm dt\) tend vers 0 quand \(n\) tend vers \(+\infty\). En intégrant \(\displaystyle f(t) - 1 - \sum_{k = 1}^n t^k(1-t)^k\), déterminer \(\displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} \sum_{k = 1}^n 2^k u_k\)
☼ Intégrale de Wallis et première formule de Stirling (de première espèce).
Soit \(\displaystyle I_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x \, \mathrm dx\) (intégrale de Wallis).
Calculer \(I_0\) et \(I_1\). Montrer que la suite \(I_n\) est décroissante.
Par une intégration par parties, montrer que \(n.I_n = (n - 1).I_{n - 2}\).
En déduire:
que \(\displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} \frac{I_{2p + 1}}{I_{2p}} = 1\).
que \(\displaystyle I_{2n}=\frac{\pi}{2}\times\frac{(2n)!}{\left(2^n n!\right)^2}\) et \(\displaystyle I_{2n+1}=\frac{\left(2^n n!\right)^2}{(2n + 1)!}\)
On pose \(\displaystyle u_n =\frac{n!\mathrm e^n}{n^n\sqrt n}\) pour \(n \geq 1\).Le but de cette partie est de montrer que la suite \((u_n)\) est convergente.
Résultats préliminaires
Montrer que \(\displaystyle \forall x \in \left[0 ; \frac{1}{2}\right]\) \(\displaystyle -\frac{2}{3}x^3 \leq \frac{1}{2}\ln\left(\frac{1 - x}{1 + x}\right) \leq 0\).
En déduire que les suites \((v_n)\) et \((u_n)\) convergent. On appelera \(L\) la limite de \((u_n)\).
Déterminer la limite \(L\) de la suite \((u_n)\) en comparant \(\displaystyle \frac{(u_n)^2}{u_{2n}}\) et \(\displaystyle \frac{I_{2n + 1}}{I_{2n}}\). En déuire un équivalent de la factorielle en \(+\infty\), c'est-à-dire une fonction \(f\) telle que \(\displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} \frac{n!}{f(n)} = 1\). On écrira alors \(n! \sim f(n)\) (formule de Stirling).
☹ ☼ Somme des carrés des inverses des entiers (calcul de \(\zeta(2)\) , bac 1981)
Soit \((u_n)_{n \in \mathbb N}\) la suite telle que \(\displaystyle u_n = \sum_{p = 1}^n \frac{1}{p^2}\).
Démontrer que pour tout entier \(n \in \mathbb N^*\) : \(\displaystyle 1 - \frac{1}{n} \leq \int_1^n \frac{1}{t^2} \, \mathrm dt \leq u_n -\frac{1}{n^2}\).
Montrer que la suite \((u_n)\) est convergente, encadrer sa limite.
On note \(\displaystyle I_n = \int_0^\pi t^2\cos\left(nt\right) \, \mathrm dt\) et \(\displaystyle K_n = \int_0^\pi t^2\sin\left(nt\right) \, \mathrm dt\), où \(n \in \mathbb N\).
A l'aide d'une intégration par parties, calculer \(I_n\) et \(K_n\) en fonction de \(n\).
En déduire que \(\displaystyle \frac{1}{n^2} = \int_0^\pi \left( \frac{t^2}{2\pi} - t \right)\cos\left(nt\right) \, \mathrm dt\).
Soit \(n\) un entier naturel non nul, et \(t\) un réel de l'intervalle \(\left(0 : \pi\right)\).
Calculer en fonction de \(n\) et \(t\) la somme \(\displaystyle \sum_{p = 1}^n \mathrm e^{\mathrm i pt}\).
En déduire que :
Si \(t \in \left] O ; \pi\right]\) alors \(\displaystyle \sum_{p = 1}^n \cos\left(pt\right) = \frac{\sin\left[\left(n + \frac{1}{2}\right)t\right]}{\sin\frac{t}{2}} - \frac{1}{2}\)
Si \(t = 0\) alors \(\displaystyle \sum_{p = 1}^n \cos\left(pt\right) = n\)
Montrer que la fonction \(\displaystyle g : t \mapsto \frac{t - \frac{t^2}{2\pi}}{2\sin\frac{t}{2}} \), définie sur \(\displaystyle \left] 0 ; \pi\right]\) peut être prolongée par continuité en 0.
Montrer que la fonction \(g\) ainsi définie sur \(\displaystyle \left[ 0 ; \pi\right]\) est positive et majorée sur \(\displaystyle \left[ 0 ; \pi\right]\).
Démontrer que la fonction \(g\) est dérivable sur \(\displaystyle \left] 0 ; \pi\right]\) et que sa dérivée est continue sur \(\displaystyle \left] 0 ; \pi\right]\).
Justifiez que pour tout \(\displaystyle n \in \mathbb N^* : \frac{\pi^2}{6} - u_n = \int_0^\pi g(t) \sin\left[\left(n + \frac{1}{2}\right)t\right] \, \mathrm dt \).
Soit \(\alpha\) un nombre réel strictement compris entre \(0\) et \(\pi\). Soit \(M\) un majorant de \(g\) sur\(\left[0 ; \pi\right]\).
Démontrez que \(\displaystyle \left| \int_0^\pi g(t) \sin\left[\left(n + \frac{1}{2}\right)t\right] \, \mathrm dt \right| \leq \frac{2M}{2n + 1}\) (variante si vous trouvez cela plus facile \(\leq M\times\alpha\)).
Démontrez que \(\displaystyle \int_0^\pi g(t) \sin\left[\left(n + \frac{1}{2}\right)t\right] \, \mathrm dt = 2g\left(\alpha\right)\frac{\cos\left[\left(n + \frac{1}{2}\right)\alpha\right]}{2n+1} + \frac{2}{2n+1}\int_0^\pi g'(t) \cos\left[\left(n + \frac{1}{2}\right)t\right] \, \mathrm dt\) .
Utilisez la question 5 pour montrer qu'il existe un nombre réel \(A\) strictement positif tel que pour tout \(\displaystyle n \in \mathbb N^* \) : \(\displaystyle \left| \int_0^\pi g'(t) \cos\left[\left(n + \frac{1}{2}\right)t\right] \, \mathrm dt \right| \leq A\left( \pi - \alpha\right)\).
Déduire des résultats précédents que \(\displaystyle \left|u_n -\frac{\pi^2}{6}\right| \leq \frac{4M + 2A\pi}{2n + 1}\) (avec la variante du 7 on trouve \(\displaystyle\leq \frac{M}{n} + \frac{2M}{n + 1} + \frac{2A\pi}{2n + 1}\)).
Conclure sur la limite de la suite \(\left(u_n\right)_{n \in \mathbb N^*}\).
☠ Montrer que si \(a\), \(b\), \(c\) sont dans \(\left[0 ; 1\right]\) alors \(\displaystyle \frac{a}{1 + bc} + \frac{b}{1 + ca} + \frac{c}{1 + ab} \leq 2\).
☠ Bac 1978 (dérivée des fonctions composées, intégration par parties, très bel exercice)
Soit \(\displaystyle f(x) = \int_0^{\frac{\pi}{4}}\exp\left(-\frac{x}{\cos^2 t}\right) \, \mathrm dt\), définie sur \(\mathbb R\).
Comparer \(f(x)\) et \(\exp(-x)\), et déterminer la limite de \(f\) en \(+\infty\).
On définit la fonction \(\varphi\) par \(\displaystyle f(x) = f(a) + (x - a)\left[\varphi(x) - \int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{\exp\left(-\frac{a}{\cos^2 t}\right)}{\cos^2 t} \, \mathrm dt \right]\).
Montrer que \(\displaystyle\lim\limits_{x \to a} \varphi(x) = 0\). En déduire que \(f\) est dérivable, et calculer \(f'(x)\). On pourra utiliser cette définition pour \(f\) dérivable en \(a\) appartenant à un intervalle \(I\) : pour tout \(h\) tel que \(a + h \in I\), on peut écrire \(f(a + h) = f(a) +h \cdot f'(a) + h\cdot\varepsilon(h)\), où \(\displaystyle\lim\limits_{h \to 0} \varepsilon(h) = 0\) ; \(f'(a)\) est appelé nombre dérivé de \(f\) en \(a\).
Soit \(P\) une primitive de la fonction \(x \mapsto \mathrm e^{-x^2}\) définie sur \(\mathbb R\), et soit \(Q\) la fonction définie par \(Q(t) = P\left(x\tan (t)\right)\).
Montrer que \(Q\) est dérivable et que \(\displaystyle \int_0^x \mathrm e^{-t^2} \, \mathrm dt = \int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{\exp\left(-x^2\tan^2 t\right)}{\cos^2 t} \, \mathrm dt\).
Soit \(g(x) = f\left(x^2\right)\). Montrer que \(\displaystyle g'(x) = -2\mathrm e^{-x^2}\int_0^x \mathrm e^{-t^2} \, \mathrm dt\).
On pose \(\displaystyle h(x) = g(x) +\left(\int_0^x \mathrm e^{-t^2} \, \mathrm dt \right)^2\). Calculer \(h'(x)\) et en déduire \(\displaystyle \lim\limits_{x \to +\infty} \int_0^x \mathrm e^{-t^2} \, \mathrm dt\).
☠
\(a\) est un paramètre réel, \(\displaystyle g_a(x) = a + \frac{\exp-\frac{x^2}{2}}{x} + \int_0^x \exp\left(-\frac{t^2}{2}\right) \, \mathrm dt\) et \(\displaystyle f_a(x) = \frac{\exp\left(-\frac{x^2}{2}\right)}{a + \int_0^x \exp\left(-\frac{t^2}{2}\right) \, \mathrm dt}\).
On admet que \(\displaystyle \lim\limits_{x \to +\infty} \int_0^x \mathrm e^{-t^2} \, \mathrm dt = \sqrt{\frac{\pi}{2}}\) (ceci est prouvé dans l'exercice précédent, faire aussi le lien avec le cours sur la loi normale).
Comparer \(g_{-a}(-x)\) et \(g_a(x)\), \(f_{-a}(-x)\) et \(f_a(x)\),
Etudier les variations de \(g_a\) et de \(f_a\) pour \( a \lt 0\), en séparant pour \(f_a\) les cas \(\displaystyle a \lt -\sqrt{\frac{\pi}{2}}\) et \(\displaystyle a \gt -\sqrt{\frac{\pi}{2}}\).
☺ 🖥 Tour de puissances Une précision préliminaire: \(x^{x^x} = x^{(x^x)}\), et non pas \(x^{x^x} = (x^x)^x = x^{x^2}\).
Ce qui donne \(2^{2^{2^2}} = 2^{2^4} = 2^{16} = 65536\) et non \(2^{2\times 2 \times 2} = 2^8 = 256\). Rappel: \(a^b = \exp(b\ln a) = \mathrm e^{b\ln a}\) et \((a^x)' = \ln a \cdot \mathrm\ e^{x\ln a} = \ln a \cdot a^x\).
Commencer par faire l'exercice 20 de la page Méthodes et exercices simples
On s'interesse à la suite \((a_n)\) définie par \(a_0 = 1\) et \(\displaystyle a_{n + 1} = b^{a_n}\), où \(b\) est un réel strictement positif. Si la limite \(L\) de cette suite existe, alors on a \(\displaystyle b^{b^{b^{b^{⋰}}}} = L\).
Ecrire un programme Python qui donne les valeurs de cette suite pour \(b = 1,45\). Quel phénomène intéressant observe-t-on ?
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par \(f(x) = b^x\). On a alors \(\displaystyle a_{n + 1} = f(a_n)\). A l'aide de la représentation "en toile d'araignée" des termes de la suite, explorer le comportement de cette suite. Ce graphique fonctionne comme Géogébra.Vous pouvez changer la valeur minimale de \(b\) notamment.
Conjecturer le comportement de la suite suivant les valeurs de \(b\).
On suppose dans cette question que \(1 \leq b\).
Quel est le sens de variation de la suite \((a_n)\) ?
On admet que pour une certaine valeur limite \(D_{sup}\), la suite est majorée. Conclure.
Intuitivement, les schémas ci-dessous semblent montrer que la valeur\(D_{sup}\) est la valeur de \(b\)
pour laquelle la courbe de \(f\) est tangente à la droite d'équation \(y = x\). On montrera ceci dans la question 3e, et également avec un théorème plus puissant à la question 4.
Montrer que la courbe de \(f\) est tangente à la droite d'équation \(y = x\) si et seulement si
\(\begin{cases}
b^x = x \\
\ln b\cdot b^x = 1
\end{cases}\).
En déduire la valeur de \(b\), ainsi que l'abscisse \(x\) du point où il y a tangence.
\(\ln b\cdot b^x = 1 \Rightarrow \ln b\cdot x = 1 \Rightarrow b = \mathrm e^{\frac{1}{x}}\).
Puis \(b^x = x\ \Rightarrow x = \displaystyle \left(\mathrm e^{\frac{1}{x}}\right)^x = \mathrm e^{\frac{1}{x}\cdot x} = \mathrm e\)
d'où \(b = \mathrm e^{\frac{1}{\mathrm e}}\).
Montrer que pour \(1 \leq b \leq \mathrm e^{\frac{1}{\mathrm e}}\) et \(1 \leq x \leq \mathrm e\), alors
\(1 \leq f(x) \leq \mathrm e\).
Montrer que dans ce cas la suite \((a_n)\) est majorée, et conlure.
Dans cette partie, on va s'interresser à la borne inférieure \(D_{inf}\) telle que la suite \((a_n)\) converge.
On admet pour cela le théorème suivant (théorème du point fixe en version plus avancée que celui de terminale, écrit pour être appliqué facilement dans la quesiton qui suit). Théorème : Soit \(f\) une fonction définie, dérivable et à dérivée continue sur l'intervalle \([a, b]\) telle que:
\(a \leq y \leq b \Rightarrow f(a) \leq y \leq f(b)\) (on dit que la fonction est contractante)
Sur l'intervalle \([a, b]\), \(\max |f'(y)| < 1\).
Alors :
Il existe un unique point \(\alpha\) dans \([a, b]\) tel que \(f(\alpha) = \alpha\).
Pour tout \(y_0\) dans \([a, b]\), la suite définie par \(y_0\) et \(y_{n + 1} = f(y_n)\) converge vers \(\alpha\).
On s'interesse maintenant à la fonction \(f\) définie par \(f(y) = x^y\).
Pourquoi a-t-on forcément \(x > 0\) ?
Montrer que \(f'(x) = \ln y\) lorsque la suite définie par \(y_0\) et \(y_{n + 1} = f(y_n)\) converge vers /(y/).
Résoudre \(|f'(x)| < 1\). En déduire les valeurs de \(x\) pour lesquelles la suite \(a_n\) converge.
\(f'(x) = \ln x \cdot x^y = (\ln x) \cdot y = y\ln x. = \ln(x^y) =\ln y\)
\(\displaystyle |f'(x)| < 1\ \Leftrightarrow -1 < \ln y < 1 \Leftrightarrow \frac{1}{\mathrm e} < y < \mathrm e\)
Or \(\displaystyle y = x^y \Leftrightarrow x = y^{\frac{1}{y}}\)
d'où \(\displaystyle \mathrm e^{- \mathrm e} < x < \mathrm e^{\frac{1}{\mathrm e}}\)).
Qu'en conclue-t-on sur l'ensemble de définition et l'ensemble image de la fonction \(g\) définie par \(\displaystyle g(x) = x^{x^{x^{x^{⋰}}}}\) ? Penser notamment aux bornes : ouvertes ou fermées ?
Les calculs précédents montrent que \(\displaystyle \mathrm e^{- \mathrm e} < x < \mathrm e^{\frac{1}{\mathrm e}}\) et \(\frac{1}{\mathrm e} < f(x) < \mathrm e\)).
La première question montre que la fonction est définie pour \(x = \mathrm e^{\frac{1}{\mathrm e}}\),
et que \(\displaystyle f(\mathrm e^{\frac{1}{\mathrm e}}) = \mathrm e\).
La résolution de \(x^{x^{x^{x^{⋰}}}} = \frac{1}{\mathrm e}\), comme dans l'exercice 20 "facile" donne \(\displaystyle x = \mathrm e^{- \mathrm e}\). Ceci n'est pas très rigoureux, on n'a pas prouvé que la suite converge dans ce cas.
Les intervalles de définition et image sont donc fermés.
