Exercices d'analyse pour la préparation aux études supérieures
Présentation
Une collection d'exercices provenant pour les deux tiers, d'un recueil de Jean-Marc
Dewasme, anciennement professeur au lycée Joffre de Montpellier. Quelques uns
proviennent d'un vieux livre de TS de M. Terracher, en tant que tels ils sont
protégés mais c'est pêcher que de les laisser se perdre ; d'autres sont de
mon cru, certaines rédactions viennent de M. Amposta (lycee.mathematiques.free.fr),
et enfin d'autres sont de provenance inconnue, glanés au fil du temps.
« Cette compilation contient des exercices que j'ai pratiquement tous donnés à mes élèves, pas toujours à une classe entière bien sûr, mais quelquefois à un petit groupe d'élèves motivés. Ce qui prouve qu'il y a eu à Joffre (et qu'il y a encore) d'excellents élèves. C'est à eux que je dédie ce recueil.
Les lecteurs voudront bien excuser et corriger les erreurs, coquilles et maladresses, et je les encourage à améliorer certains passages en considérant cet exemplaire comme une source d'idées et non comme un travail accompli.
Jean-Marc
Dewasme »
J'ai également donné certains de ces exercices, sous une forme parfois différente -notamment
avant de connaître ce recueil- à des élèves du lycée Pierre Poivre de la
Réunion, et aussi à des élèves du lycée Jean Jaurès
de Saint-Clément-de-Rivière. Ceci en classe entière,
en devoir à la maison, ou bien à certains élèves uniquement. Et je
confirme : il y a toujours d'excellents élèves, partout. Il suffit de leur
donner de quoi se nourrir intellectuellement pour qu'ils se révèlent, ce que les programmes ont eu tendance à oublier pendant plusieurs années.
Frédéric Mandon
Les indications de difficulté (☹ , ☹☹ et enfin ☠) ne sont pas forcément de moi, je n'ai pas forcément le même ressenti, à chacun ses goûts et ses couleurs !
Certains exercices, sans être corrigés, bénéficient d'indices/de pistes de réflexion. La difficulté devient alors bien plus raisonnable.
Par ailleurs, certains de ces exercices me paraissent facilespas trop difficiles envisageables, je les ai signalés avec un ☺. N'ayant pas fait ou refait depuis longtemps une
partie de ces exercices, et jamais pour quelques-uns, il est fort possible que
j'en ai oublié.
Les exercices me paraissant particulièrement enrichissants sont signalés par ☼. J'ai essayé de mettre dans cette
catégorie des exercices en majorité ☺.
Les exercices présentant un intérêt certain en programmation sont signalés par 💻. Pour certains, on peut trouver la solution avec un programme, pour d'autres il s'agit plus d'explorer et de conjecturer. Quelques programmes, notamment en arithmétique, demandent des connaissances sur les types ; les connaissances acquises en programmation lors des cours de mathématiques risquent d'être un peu justes. les exercices notés 💻 🖥 sont enrichissants en tant qu'exercices de programmation, notamment pour les élèves de NSI en début de classe de première.
Certains de ces exercices, surtout en analyse, nécessitent des compléments de cours. Ces
compléments sont faciles à comprendre et à trouver sur le web, et si vous êtes élève votre professeur peut vous les expliquer rapidement. Quand j'y ai pensé, j'ai signalé sur les exercices la nature de ces compléments. Il s'agit
principalement de :
Suites adjacentes.
Asymptotes obliques.
Composition des fonctions et dérivée d'une fonction composée.
Intégration par parties.
Bijections, continuité de manière un peu plus fine que dans le programme officiel.
Fonctions puissances, croissances comparées.
Notions sur les factorielles.
Arrangements et combinaisons.
Bases et systèmes de numération (en arithmétique) Ceux qui font NSI/ISN en connaissent les principes, du moins en base 2 et 16.
Par ailleurs, les outils informatiques peuvent donner facilement la solution de
certains exercices (et cela est très enrichissant à programmer). Si vous
trouvez la solution par ce moyen, n'oubliez pas de prouver vos conjectures par
la suite !
Les exercices
Le peloton du tour de France fait 100 mètres de long et roule à vitesse constante v. Une moto roulant à vitesse constante V part du dernier coureur, remonte jusqu'au premier, fait demi tour instantanément et repart tout aussi instantanément à la même vitesse constante V, puis croise le dernier coureur du peloton au moment ou celui-ci a parcouru 100 mètres depuis que la moto l'a quitté. Quelle distance a parcouru la moto entre les deux moments où elle côtoie le dernier coureur ?
Le train sifflera trois fois.
Sur une voie ferrée rectiligne, un train traverse un passage à niveau avant d'entrer en gare, et donne un coup de sifflet du passage à niveau jusqu'au-delà de la gare. Monsieur Machin, Cheminot, a remarqué que la durée du coup de sifflet lui paraissait plus courte de 1,5 secondes quand il travaillait au-delà de la gare que quand il était avant le passage à niveau où, par contre, elle lui paraissait plus courte d'une seconde que quand il était à la gare. Quelle est la distance entre la gare et la passage à niveau ? Quelle est la distance parcourue par le train pendant son coup de sifflet ?
☹ 🖥 💻 (trigo)
Une caisse cubique de 70 centimètre de côté est posée contre un mur. On appuie contre le mur une échelle de 2,5 mètres qui est contact avec le mur. A quelle hauteur maximale l'échelle peut-elle s'appuyer sur le mur ?
☹ ☹ (trigo) Le rectangle de côtés 5 et 1 doit, en glissant en A et B, passer entre les deux demi-droites parallèles d'origine 0 et C. On donne . Quelle doit être la distance minimale ?
☺ Un escalier roulant monte à vitesse constante. Léon monte 20 marches et arrive en 15 secondes ; Suzy en montant 22 marches ne met que 12 secondes, et Gaston qui descend met 18 secondes. Combien a-t-il descendu de marches ?
☠ L'escalier du pharaon.
Un escalier comporte 9 marches de hauteurs respectives en partant du bas 1 - 1,5 - 0,7 - 1 - 1,2 - 1 - 0,8 - 1,2 - 1 et de profondeurs 3 - 4 - 1 - 5 - 3 - 4 - 4 - 3 (la dernière est le palier). Le pharaon décide de le transformer en un escalier de 4 marches en minimisant le volume à ajouter. Donner les dimensions des nouvelles marches.
☼ Le Petit Chaperon Rouge part de chez elle à 8h00, arrive chez sa grand-mère dans l'après-midi (sans rencontrer personne). Le lendemain, après un bon civet de loup, elle repart de chez sa grand-mère à 8h00, et arrive chez elle tranquillement, en empruntant le même chemin en sens inverse. Montrer qu'il existe un endroit du chemin par lequel elle est passée exactement à la même heure les deux jours.
☹☹ et ☼ (pour l'apprentissage du principe des tiroirs de Dirichlet)
On choisit un nombre réel et un entier . Montrer que parmi les nombres il y en a au moins un qui est à moins de d'un entier ( principe des tiroirs de Dirichlet : si on a chaussettes et tiroirs, alors au moins un tiroir comporte deux chaussettes).
☺ ☼ Flocon de Von Koch.
La courbe est un triangle équilatéral de côté 1 et d'aire . On définit par récurrence une famille de courbes de la manière suivante : chaque courbe est obtenue à partir de la précédente en remplaçant chaque segment par une ligne brisée, en construisant un triangle équilatéral sur le tiers central du segment. Déterminer le périmètre et l'aire de , ainsi que leur limite quand tend vers . Conclusion ?
☺ ☼ Nombre d'or 1.
Montrer que
On pourra montrer que , d'où , où et et .
☺ 🖥 Fibonacci 1.
On considère la suite de Fibonacci définie par , , et .
Conjecturer la limite de la suite en calculant les 100 premiers termes. Il peut être intéressant d'utiliser à la fois Python, tableur, et calculatrice.
Soient et . Vérifier que et sont les solutions de l'équation . En déduire que l'on a .
Conclure sur la validité des conjectures.
Fibonacci 2
De combien de façons peut-on remplir un tonneau de litres avec un pot de 1 litre et 1 pot de 2 litres ? Le sens du "nombre de façons" fait intervenir l'ordre ; ainsi il y a trois façons de remplir un tonneau de 3 litres : 1-2, 1-1-1, 2-1. On prendra en pensant qu'il n'y a qu'une seule façon de remplir un tonneau déjà plein, c'est de ne rien faire. Justifier que
De telles suites, définies par leurs 2 premiers termes et cette relation de récurrence s'appellent suites de Fibonacci, du nom de celui qui les a caractérisé par le nombre d'or (vers 1200).
Quelle relation de récurrence vérifie la suite définie par \(q_n = \frac{f_{n+1}{f_n}\).En déduire la convergence de la suite (on peut faire l'exercice Nombre d'Or 1 !)
Montrer que les suites et définies respectivement par et sont des suites de Fibonacci. En déduire que toute suite s'écrivant est une suite de Fibonacci.
Montrer maintenant la réciproque : toute suite de Fibonacci s'écrit sous la forme . Pour cela on déterminera et en fonction de et . Donner les valeurs de et dans le cas précis de la suite étudiée au 1.
Nombre d'or 2
Résoudre l'équation ( dénominateurs superposés)
Nombre d'or 3
Soit la suite définie par et .
Montrer que la suite converge vers le nombre d'or .
Montrer que , en déduire que est une approximation de à au moins .
Nombre d'Or 4
On définit la suite par et . Partie A : étude directe (et incomplète)
Conjecturer la limite de la suite . On pourra utiliser des outils de calcul. Remarque : Pyhton accepte les complexes sous la forme z = a + bj ou z = complex(a,b), avec j à la place de , et sans signe de multiplication entre b et j. L'instruction phase(z) permet de calculer une mesure de l'argument. Il faut préciser from cmath import * en début de programme.
☹ Soit et . Montrer que .
En déduire par itération que la suite diverge, et que la suite est décroissante et convergente.
Série harmonique et Constante d'Euler-Mascheroni (voir aussi exercice 16 sur le même thème, du côté arithmétique).
On considère la série harmonique . En regroupant des termes successifs, montrer que . En déduire que la série diverge vers .
On considère la série harmonique alternée .
Calculer , où .
Calculer , où .
En déduire la limite de la série harmonique alternée.
On vient de voir au 1 que la série harmonique diverge. On sait également que la suite diverge vers .Comparons les deux.
Montrer que pour tout entier , .
On pose et . Montrer que la suite est croissante, est décroissante, et que ces deux suites ont la même limite appartenant à .
Remarque : on en conclut que les deux suites (série harmonique et ) ont la même "vitesse de convergence".
☹☹
On pose et . Montrer que est entier pour tout .
☹☹ est un entier impair. On pose entier positif, et si est pair, alors , alors que si est impair, . Montrer qu'il existe tel que , et que est périodique à partir du rang .
Algorithme de Babylone.
On définit la suite par et .
Montrer que la suite ) vérifie . Conclure sur la convergence de la suite, puis détermniner le limiite de .
D'après la calculatrice, et avec un peu d'intuition, à partir de quel rang a-t-on une valeur approchée de à près ? A près ? A près ?
Calculer . En déduire que . Si est une valeur approché de à , que peut-on dire sur la précision de en tant que valeur approchée de ?
Simplifier
Etudier rapidement la fonction . On note l'ensemble de définition de et . On considère et l'équation . Montrer que cette équation a trois solutions, dont une et une seule dans . Déterminer algébriquement les trois solutions. Représenter graphiquement la fonction qui à associe celle des solutions qui est dans .
Le paravent.
Un paravent est constitué de deux parties et articulées en , de 1 mètre chacune. On place ce paravent dans le coin (à angle droit) d'une pièce, étant sur la bissectrice. On cherche à obtenir une surface maximale.
Etudier ce problème :
En prenant comme inconnue l'abscisse de dans un repère ;
En prenant comme inconnue l'angle .
☹ ☼ (compléments : asymptotes obliques)
Soit la fonction définie sur par . On note sa courbe représentative.
Etudier en séparant les cas suivant les valeurs de ; ne pas oublier la dérivabilité en 0 et en 4 (on montrera l'existence de demi-tangentes verticales).
Pour trouver les équations des asymptotes obliques en et en on pourra utiliser la méthode suivante :
si et alors (conclure !).
Etudier l'intersection de avec ses asymptotes (pour ceux qui n'ont pas peur des calculs).
Un amour de fonction.
Etudier les fonctions définies par et , et en particulier leur dérivabilté en 0 et en 1. En déduire l'étude de et de . Quelle est l'aire du domaine délimité par les courbes représentatives de ces deux fonctions ?
☺ ☼ Etudier la fonction définie par , et préciser les tangentes aux extrémités de son ensemble de définition.
(complément : fonctions puissances). On pose , où . Etudier les fonctions en précisant selon la tangente en O. Déterminer une fonction dont la courbe contient tous les points d'ordonnée maximale de toutes les courbes . Etudier et représenter sur un même graphique la courbe de et celles de et .
☺ Donner les 100 premiers chiffres après la virgule de . On pourra utiliser la calculatrice (non testé sur des outils modernes comme la TI-Nspire, peut-être qu'on obtient quasiment directement la réponse).
La tractrice ☼
Soient les fonctions cosinus hyperbolique, sinus hyperbolique et tangente hyperbolique définies respectivement par , et .
Calculer , et .
Etudier rapidement la fonction , soit sa courbe représentative.
Soit un point de d'abscisse , sa projection sur l'axz des abscisses, et la projection orthogonale de sur la tangente en à la courbe . Ecrire une équation de et déterminer les coordonnées de en fonction de . Quelle est la distance ?
On pose . Etudier la fonction (on admettra que la courbe de admet une tangente horizontale en 1). Montrer que les coordonnées de vérifient la relation , et en déduire à partir de l'ensemble des points quand décrit . Montrer que est tangente à cet ensemble.
☺ (complément : asymptotes obliques) On considère la fonction (\f\) définie par . Etudier succintement \'f\) et en déduirre l'existence d'un unique réel tel que . Donner une encadrement de à près, étudier le signe de suivant les valeurs de .
Soit maintenant la fonction définie par . Etudier les limites de en 1 et à l'infini.
Montrer que a une limite finie en 0. Si on prolonge en prenant cette limite comme valeur de , quelle est la tangente à 0 à la courbre représentative de ?
Montrer que la droite d'équation est asymptote à la courbe de .
Calculer , et montrer que en posant . En déduire alors les variations de ; on appelera la valeur annulant .
Exprimer en fonction de et en déduire un encadrement de .
Soient et deux réels strictement positifs tels que , soit un réel positif, et soit la fonction définie par . En étudiant les variations de , montrer que pour tout on a : , l'égalité n'ayant lieu que si .
Si et sont deux suites de réels strictement positifs, montrer l'inégalité
(H)
Poser et
étant une suite de réels positifs de somme 1, et une suite strictement croissante de réels positifs, on pose . Déterminer les limites de la fonction quand tend vers 0, , . La limite en 0 servira de prolongement par continuité et sera notée .
On pourra passer au logarithmeet factoriser par pour la limite en .
Et une autre astuce dont je ne me souvient pas XD
On suppose que , montrer en utilisant (H) que ; montrer une relation anlaogue en supposant que et sont négatifs. En déduire que la fonction est croissante sur .
En comparant , , , et , on obtient les inégalités usuelles sur les moyennes harmonique, arithmétique, géométrique et quadratique.
☠ sans indications (mais très beau), ☹ avec les indications (et toujours très beau). On peut éventuellement mélanger les deux méthodes.
Trouver les fonctions de dans vérifiant pour tout couple , avec .
Méthode 1
Montrer que est invariant par .
Montrer que si est invariant pas , alors et le sont aussi.
Conclure sur les invariants de , puis sur
Méthode 2 (trouvée par un élève, non testée)
Montrer que est une bijection strictement décroissante.
En déduire que est continue ; une aide du professeur est bienvenue.
Il y a peut-être une étape "dérivabilité".
Trouver un invariant de , conclure.
Montrer que l'équation a pour une solution unique que l'on notera . Montrer que la suite est décroissante, convergente, et a pour limite 0,5.
Préliminaire : lorsqu'elle existe, on appelle fonction réciproque de la fonction la fonction notée telle que , où est la fonction identité : . On admet l'existence des fonctions réciproques lorsque est une bijection.On rappelle également (ou admet) que .
On considère la fonction tangente, définie sur , et notée ici . On pose pour tout réel .
Calculer l'aire du domaine délimité pr la courbe de , et les droites d'équation et (c'est bien et non !).
Calculer la dérivée de et en déduire , , .
A l'aide d'une intégration par parties, calculer .
On pose . Montrer que et en déduire la limte de en 0. Déterminer
☹ Fonction moyenne. On rappelle que désigne la dérivée è de . Revoir aussi les notions sur les fonctions composées à l'exercice précédent.
Pour toute fonction monotone, indéfiniment dérivable sur , on définit la fonction moyenne de sur par
Montrer que .
Montrer que est monotone de même sens de variation que .
A l'aide d'une intégration par parties sur , montrer que
Intégrale de Bessel (complément : fonction composées, fonction réciproque cf. ci-dessus ex 34).
On pose définie sur , est une primitive de , et .
Calculer , en déduire puis
On pose alors et .
Montrer à l'aide d'un encadrement que .
A l'aide d'une intégration par parties, déterminer une relation entre et .
En déduire que . Comparer avec la valeur de obtenue directement après développement de par la formule du binôme (on ne cherchera pas à réduire la somme obtenue).
Montrer que tend vers 0 quand tend vers . En intégrant , déterminer
☼ Intégrale de Wallis et première formule de Stirling (de première espèce).
Soit (intégrale de Wallis).
Calculer et . Montrer que la suite est décroissante.
Par une intégration par parties, montrer que .
En déduire:
que .
que et
On pose pour .Le but de cette partie est de montrer que la suite est convergente.
Résultats préliminaires
Montrer que .
Montrer que , ) (d'où bien sûr ).
Montrer que .
Soit .
Montrer que . En déduire que
Montrer que . Conclusion ?
Montrer que .
En déduire que les suites et convergent. On appelera la limite de .
Déterminer la limite de la suite en comparant et . En déuire un équivalent de la factorielle en , c'est-à-dire une fonction telle que . On écrira alors (formule de Stirling).
☹ ☼ Somme des carrés des inverses des entiers (calcul de , bac 1981)
Soit la suite telle que .
Démontrer que pour tout entier : .
Montrer que la suite est convergente, encadrer sa limite.
On note et , où .
A l'aide d'une intégration par parties, calculer et en fonction de .
En déduire que .
Soit un entier naturel non nul, et un réel de l'intervalle .
Calculer en fonction de et la somme .
En déduire que :
Si alors
Si alors
Calculer l'intégrale .
Montrer que la fonction , définie sur peut être prolongée par continuité en 0.
Montrer que la fonction ainsi définie sur est positive et majorée sur .
Démontrer que la fonction est dérivable sur et que sa dérivée est continue sur .
Justifiez que pour tout .
Soit un nombre réel strictement compris entre et . Soit un majorant de sur.
Démontrez que (variante si vous trouvez cela plus facile ).
Démontrez que .
Utilisez la question 5 pour montrer qu'il existe un nombre réel strictement positif tel que pour tout : .
Déduire des résultats précédents que (avec la variante du 7 on trouve ).
Conclure sur la limite de la suite .
☠ Montrer que si , , sont dans alors .
☠ Bac 1978 (dérivée des fonctions composées, intégration par parties, très bel exercice)
Soit , définie sur .
Comparer et , et déterminer la limite de en .
On définit la fonction par .
Montrer que . En déduire que est dérivable, et calculer . On pourra utiliser cette définition pour dérivable en appartenant à un intervalle : pour tout tel que , on peut écrire , où ; est appelé nombre dérivé de en .
Soit une primitive de la fonction définie sur , et soit la fonction définie par .
Montrer que est dérivable et que .
Soit . Montrer que .
On pose . Calculer et en déduire .
☠ est un paramètre réel, et .
On admet que (ceci est prouvé dans l'exercice précédent, faire aussi le lien avec le cours sur la loi normale).
Comparer et , et ,
Etudier les variations de et de pour , en séparant pour les cas et .
☺ 🖥 Tour de puissances Une précision préliminaire: , et non pas .
Ce qui donne et non . Rappel: et .
Commencer par faire l'exercice 20 de la page Méthodes et exercices simples
On s'interesse à la suite définie par et , où est un réel strictement positif. Si la limite de cette suite existe, alors on a ⋰.
Ecrire un programme Python qui donne les valeurs de cette suite pour . Quel phénomène intéressant observe-t-on ?
Soit la fonction définie sur par . On a alors . A l'aide de la représentation "en toile d'araignée" des termes de la suite, explorer le comportement de cette suite. Ce graphique fonctionne comme Géogébra.Vous pouvez changer la valeur minimale de notamment.
Conjecturer le comportement de la suite suivant les valeurs de .
On suppose dans cette question que .
Quel est le sens de variation de la suite ?
On admet que pour une certaine valeur limite , la suite est majorée. Conclure.
Intuitivement, les schémas ci-dessous semblent montrer que la valeur est la valeur de
pour laquelle la courbe de est tangente à la droite d'équation . On montrera ceci dans la question 3e, et également avec un théorème plus puissant à la question 4.
Montrer que la courbe de est tangente à la droite d'équation si et seulement si
.
En déduire la valeur de , ainsi que l'abscisse du point où il y a tangence.
.
Puis
d'où .
Montrer que pour et , alors
.
Montrer que dans ce cas la suite est majorée, et conlure.
Dans cette partie, on va s'interresser à la borne inférieure telle que la suite converge.
On admet pour cela le théorème suivant (théorème du point fixe en version plus avancée que celui de terminale, écrit pour être appliqué facilement dans la quesiton qui suit). Théorème : Soit une fonction définie, dérivable et à dérivée continue sur l'intervalle telle que:
(on dit que la fonction est contractante)
Sur l'intervalle , .
Alors :
Il existe un unique point dans tel que .
Pour tout dans , la suite définie par et converge vers .
On s'interesse maintenant à la fonction définie par .
Pourquoi a-t-on forcément ?
Montrer que lorsque la suite définie par et converge vers /(y/).
Résoudre . En déduire les valeurs de pour lesquelles la suite converge.
Or
d'où ).
Qu'en conclue-t-on sur l'ensemble de définition et l'ensemble image de la fonction définie par ⋰ ? Penser notamment aux bornes : ouvertes ou fermées ?
Les calculs précédents montrent que et ).
La première question montre que la fonction est définie pour ,
et que .
La résolution de ⋰, comme dans l'exercice 20 "facile" donne . Ceci n'est pas très rigoureux, on n'a pas prouvé que la suite converge dans ce cas.
Les intervalles de définition et image sont donc fermés.