Ces petites questions indépendantes proviennent en majorité d'Instagram !
Elles sont ☺ avec les indices... ne vous laissez pas impressionner par l'aspect parfois horriblement compliqué, il est là juste pour faire peur 👻. Ne cherchez pas non plus à être très rigoureux, des notions utilisées ne sont plus enseignées en terminale. le but ici est de les utiliser sans trop se poser de questions quant à leur signification
Les indices donnent la méthode. La solution est souvent donnée, passer la souris dessus pour la voir éventuellement, mais non détaillée sauf précision contraire.
Quelques définitions et théorèmes utiles.
\(\displaystyle a^b = \mathrm e^{b\ln a}\), où \(a > 0\).
Une fonction périodique de période \(T\) vérifie \(f(x + T) = f(x)\)
Dérivée d'une fonction composée : \(\left(v \circ u\right)' = u \times v' \circ u\)
Sous une autre forme \(\left(v\left(u\right)\right)' = u' \times v'\left(u\right)\)
Soit \(f\) une fonction définie d'un intervalle ouvert \(A\) vers un intervalle \(B\). En simplifiant beaucoup, on dira que \(f\) est une bijection de \(A\) vers \(B\) sssi elle est strictement croissante ou décroissante sur \(A\). Il est équivalent de dire que tout élément de \(A\) a une image et une seule dans \(B\) - ce qui est la définition d'une fonction-, et que tout élément de \(B\) admet un unique antécédent dans \(A\).
On peut alors définir la fonction réciproque \(f^{-1}\) de \(B\) vers \(A\) par \(y = f(x) \Leftrightarrow x = f^{-1}(y)\).
On a \(f^{-1} \circ f(x) = x\) et \(f\circ f^{-1} (y) = y\) Exemple: fonction carrée et racine carrée sur \(\mathbb{R^+}\).
Les exercices
Un peu de rigueur ne fait pas de mal ici.
Résoudre \(\displaystyle \frac{x}{y} = xy = x + y\).
Solution : (1/2, -1) et justifier correctement que (0 ; 0) n'est pas solution. .
Sans calculer les racines \(x_1\) et \(x_2\) de \(P(x) = x^2 -11x - 1\), calculer \(\displaystyle x_1^2 - \frac{3}{2}x_2^2 + \frac{1}{x_1^2} +\frac{33x_2}{2}\).
Poser \(\displaystyle y = \ln(\ln(\ln x))^{\ln(\ln x)^{\ln x}}\)
Utiliser ensuite \(\displaystyle a^b = \mathrm e^{b\ln a}\) pour conclure.
Solution 1 .
On donne \(\displaystyle x = 10^{10}\), \(\displaystyle y = 10^{10^{10}}\), \(\displaystyle z = 10^{10^{10^{10}}}\), \(\displaystyle A = x^{y^z}\), \(\displaystyle B = z^{x^y}\), \(\displaystyle C = y^{z^x}\). Classer \(A\), \(B\) et \(C\).
Utiliser le logarithme décimal \(\displaystyle \log x = \frac{\ln x}{\ln 10}\), et en particulier sa propriété \(\ln 10^n = n\), pour calculer \(\log(\log A)\) et l'exprimer en fonction de \(x\). Faire de même avec \(B\) et \(C\).
Solution : on trouve \(B < C < A\).
Résoudre l'équation fonctionnelle (i.e. l'inconnue est la fonction \(f\)) : \(f(x +y) = f(x) - f(y)\), où \(f\) est une fonction définie sur \(\mathbb{R}\). Méthode -simple- à trouver.
Solution : on trouve \(f = 0\)
Avertissement : aucun souvenir de la difficulté ni de la solution ! Probablement difficile.
Résoudre l'équation fonctionnelle : \(\displaystyle 5f(x) = f\left(\frac{1}{x}\right) - \frac{1}{\sqrt{x}}\), où \(f\) est une fonction définie sur \(\mathbb{R}^+_*\).
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) le système :
\( \left\{
\begin{array}{rcr}
\ln\left(\frac{x}{y}\right)\ln(xy) & = & 3 \\
x^{\ln y} + y^{\ln x} & = & 2\mathrm e^2 \\
\end{array}
\right.\)
Utiliser les propriétés du logarithme et \(\displaystyle a^b = \mathrm e^{b\ln a}\).
Poser ensuite \(a = \ln x\) et \(b = \ln x\), on est alors ramené à une équation bicarré.
Solution : il n'y a que que 2 couples solutions et non 4 : \(\left(\mathrm e^2 ; \mathrm e^1 \right)\) et \(\left(\mathrm e^{-2} ; \mathrm e^{-1} \right)\).
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = e^{2x} + x - 4\).
Soit \(f\) la fonction définie par \(h(x) = \ln\left(x - f^{-1}(x)\right)\).
Donner l'ensemble de définition de \(h\).
Trouver le domaine de défintion équivaut à résoudre \(x > f^{-1}(x)\)
Un schéma peut suffire, sinon composer l'inégalité précédente par \(f\) , en justifiant le sens de variation pour savoir si l'on inverse l'égalité ou non..
Solution : \(x > \ln 2 \) de mémoire et/ou à l'intuition..
La décomposition en éléments simples de la fraction \(\displaystyle \frac{1}{(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)}\) en est l'écriture sous la forme \(\displaystyle \frac{a}{x - 1} + \frac{b}{x - 2} + \frac{c}{x - 3} + \frac{d}{x - 4}\).
Détails 1 : réduire au même dénominateur et identifier terme à terme le numérateur (ici avec 1).
Détails 2/astuce de calcul : ne pas développer le numérateur, et prendre des valeurs particulières de \(x\), comme 2, pour calculer les coefficients des fractions..
Solution : \(-1/6.\ln 5 +2\ln 2 - \ln3\).
Soit \(f\) une fonction dérivable et périodique de période 4. On suppose de plus que \(f(x) = f(3x -1) + f(3x +2)\) et que \(f'(2) = 12\). Que vaut \(f'(1)\) ?
Dériver les deux membres de \(f(x) = f(3x -1) + f(3x +2)\), et utiliser la périodicité .
Solution : 18 .
Trouver l'erreur :
\(n^2 = n + n + ... + n n\) fois.
On dérive chaque côté :
\(2n = 1 + 1 + ... + 1 n\) fois.
\(2n = n\)
Puis on simplifie :
\(2 = 1\)
La définition du membre de droite n'est valable que pour les nombres entiers naturels, alors que la dérivation ne se fait qu'avec des fonctions continues, donc sur \(\mathbb{R}\). Ecrire \(x^2 = x + x + ... + x x\) fois pour un nombre non entier n'a pas de sens... comme cette "démonstration" !
Résoudre \(a^2 - 1 \equiv 14a + 6 [10]\)
Remarquer que \(-7 \equiv 13 [10]\) puis factoriser. Attention aux éventuels diviseurs de 0
Solution : 1 et 13 (j'avoue ne pas avoir vérifié sérieusement pour les diviseurs de 0, je pense qu'il n'y pas d'autres solutions).
Vrai/faux ?
Il existe trois nombres premiers \(a\), \(b\), \(c\), strictement supérieurs à 2, tels que \(a + b = c\).
Réponse presque totalement détaillée : faux, prouvez-le avec la parité.
\(a = 10^{10} \Rightarrow a^a = 10^{10^{101}}\)
Si vous choisissez une réponse au hasard à cette question, quelle est la probabilité qu'elle soit correcte ?
\(\displaystyle 1/4\)
\(\displaystyle 1/3\)
\(\displaystyle 1/2\)
\(\displaystyle 1/4\)
Est-ce que les deux possibilités ci-dessous donnent la même solution ?
- dans un QCM, les réponses proposées doivent être différentes deux à deux, et dans ce cas on ne choisit plus vraiment au hasard puiqu'on élimine a et d ;
ou
- dans un QCM, il est possible d'avoir plusieurs fois la même réponse proposée.
En fait, c'est ça la source d'ambiguïté et de discussion enrichissante (et on se fiche de l'avis qu'on a sur les QCM, l'objectif est juste de trouver la solution, éventuellement identique, dans les deux cas).
Fuyez c'est un piège ! Il n'y a pas de solution si on considère qu'on répond vraiment au hasard.
En effet on a alors :
\(P(\mathrm{choix} = 1/4) = 1/2\)
\(P(\mathrm{choix} = 1/3) = 1/4\)
\(P(\mathrm{choix} = 1/2) = 1/4\)
Et on n'a jamais \(P(\mathrm{choix} = p) = p\) qui est le résultat récherché
Dans le cas où l'on élimine la réponse \(1/4\), c'est bien plus simple, la réponse est alors la c : \(1/2\).
Soit \(P\) une fonction polynôme, telle que \(P(x) = P'(x)P"(x)\).
Calculer \(\displaystyle \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{P(x)P(2x)}{P(x^2)}\)
De quel degré est forcément \(P\) ? On pourra l'écrire sous la forme \(P(x) = a_nx^n + ... + a_1x + a_0\)
Trouver la ou les valeurs de \(x\) telles que le triangle de côté \(\ln x\), \(\ln 2x\) et \(\ln 3x\) soit rectangle.
On note \(\lfloor x \rfloor\) la partie entière de \(x\), c'est à dire la valeur \(n\) telle que \(n \le x < n + 1\). Cette fonction s'appelle floor en anglais, la partie entière dans les pays anglo-saxons n'étant pas toujours définie de manière univoque.
Soit \(x\) réel tel que \(x^2 + x < 0\).
Calculer \(\lfloor x \rfloor + \lfloor x^2 \rfloor\ + \lfloor x^3 \rfloor + ... + \lfloor x^{30} \rfloor\).
Dans quel intervalle est \(x\) ?
Niveau 2nde
Sans calculatrice, résoudre dans \(\mathbb R\) l'équation \(303^3 + 404^3 + 505^3 = x^3\).
Tour de puissances Une précision préliminaire: \(x^{x^x} = x^{(x^x)}\), et non pas \(x^{x^x} = (x^x)^x = x^{x^2}\)
Ce qui donne \(2^{2^{2^2}} = 2^{2^4} = 2^{16} = 65536\) et non \(2^{2\times 2 \times 2} = 2^8 = 256\) Rappel: \(a^b = \exp(b\ln a) = \mathrm e^{b\ln a}\)
Expliquer pourquoi \(\displaystyle x^{x^{x^{x^{⋰}}}} = 2 \Rightarrow x^2 = 2 \Rightarrow x =\sqrt 2\)
Résoudre de la même manière \(\displaystyle x^{x^{x^{x^{⋰}}}} = 4\) et conclure.
Approfondissement et explications dans la page Analyse, exercice XLII (qui est très détaillé et relativement facile).
On peut faire un petit programme Python pour explorer le phénomène.
pour la première implication, la puissance de \(x\) est égale à \(\displaystyle x^{x^{x^{x^{⋰}}}}\) soit 2. Par ailleurs la solution \(x = -\sqrt 2\) est exclue par définition de \(x^x = \mathrm e^{x\ln x}\).
La deuxième équation donne également \(x = \sqrt 2\) d'après \(x^4 = 4\). Il y a une impossibilité manifeste.
Le programme Python fait conjecturer que \(x = \sqrt 2\) donne \(\displaystyle x^{x^{x^{x^{⋰}}}} = 2 \).
